Seja
. Prove formalmente, usando a definição de limite, que
.
Passo 1
Temos a função f(x)=x² e queremos provar que
usando a definição formal de limite (epsilon–delta). Vamos precisar da definição: mostrar que para todo
existe
tal que, se
, então
.
Passo 2
Começamos analisando a diferença entre f(x) e o limite proposto:
Passo 3
Para controlar
, restringimos
a uma vizinhança de 3. Por exemplo, se exigirmos também
, então
e daí
. Assim, sempre que
vale
Passo 4
Agora, dado um
, basta escolher
de forma a garantir ao mesmo tempo
e
. Uma escolha eficaz é
Passo 5
Com esse
, se
então automaticamente
e
. Logo
Passo 6
Portanto, concluímos que
.
Resposta
Escolhendo
satisfaz-se a definição formal, logo
.