Seja f(x)=x^2. Prove formalmente, usando a definição de limite, que lim x 3 f(x)=9.

Passo 1

Temos a função f(x)=x² e queremos provar que limxto3f(x)=9 usando a definição formal de limite (epsilon–delta). Vamos precisar da definição: mostrar que para todo varepsilon>0 existe de0 tal que, se 0<|x-3|, então |f(x)-9|.

Passo 2

Começamos analisando a diferença entre f(x) e o limite proposto:
|f(x)-9| = |x^2-9| = |(x-3)(x+3)| = |x-3|cdot|x+3|

Passo 3

Para controlar |x+3|, restringimos x a uma vizinhança de 3. Por exemplo, se exigirmos também |x-3|<1, então 2 e daí |x+3|<7. Assim, sempre que |x-3|<1 vale
|x^2-9| = |x-3|cdot|x+3| < |x-3|cdot7 = 7|x-3|

Passo 4

Agora, dado um varepsilon>0, basta escolher de de forma a garantir ao mesmo tempo |x-3|<1 e 7|x-3|. Uma escolha eficaz é
de

Passo 5

Com esse de, se 0<|x-3| então automaticamente |x-3|<1 e |x-3|. Logo
|f(x)-9|<7|x-3|<7cdotvarepsilon7=varepsilon, o que completa a prova segundo a definição de limite.

Passo 6

Portanto, concluímos que limxto3x^2=9.

Resposta

Escolhendo de satisfaz-se a definição formal, logo limxto3x^2=9.

Exercícios relacionados