Um produto tem seu valor dado pela função P(x)=500 2^k x, em que x é o tempo em anos contados a partir de 2003 (x=0), e P(x) é dado em reais. Dado que em 2005 esse produto valia 1000 reais, calcule o que se pede nos itens abaixo.
a) O valor do produto em 2003.
b) O valor do produto em 2007.
c) O ano em que o produto valerá 32000 reais.

Passo 1

O enunciado diz que o valor do produto segue uma função exponencial dada por P(x)=500,2^k x, onde x é o número de anos desde 2003. Em 2005 (isto é, x=2) temos P(2)=1000. O conteúdo envolvido é função exponencial crescente, e vamos precisar usar propriedades de potências e definição de logaritmo para determinar k, depois avaliar a função em valores de x conhecidos e resolver para x em um valor alvo de P(x).

Passo 2

Para determinar o parâmetro k, usamos o dado de 2005:
1000 = 500 cdot 2^2k
Dividindo ambos os lados por 500:
2 = 2^2k
Como as bases são iguais, igualamos os expoentes:
2k = 1 Longrightarrow k = tfrac12

Passo 3

Agora a função fica P(x)=500,2^x/2. Para 2003 ( x=0) temos:
P(0)=500cdot2^0/2=500cdot1=500
Para 2007 ( x=4) calculamos:
P(4)=500cdot2^4/2=500cdot2^2=500cdot4=2000

Passo 4

Para achar o ano em que P(x)=32000, montamos:
32000=500cdot2^x/2
Dividindo por 500:
64=2^x/2
Reconhecemos 64=2^6, logo:
x/2=6Longrightarrow x=12

Passo 5

Esse x=12 corresponde a 2003+12=2015.

Resposta

a) R$ 500 b) R$ 2000 c) 2015

Exercícios relacionados