Exercs. 23-28: Ache os três primeiros termos da série de Taylor de f(x) em c.
f(x)=tg x;
c=pi / 4

Passo 1

A questão pede os três primeiros termos da série de Taylor de f(x)=tan x em torno de c=pi/4. Vamos usar o polinômio de Taylor de ordem 2, que envolve f(c), f'(c) e f''(c).

Passo 2

Definimos h = x - pi4 e lembramos que o polinômio de Taylor de grau 2 é dado por
P2(x)=f(c)+f'(c),h+f''(c)2!,h^2

Passo 3

Calculamos f(c):
fl(tfracpi4r)=tanl(tfracpi4r)=1

Passo 4

Calculamos f'(x) e f'(c):
f'(x)=sec^2 x, f'l(tfracpi4r)=sec^2l(tfracpi4r)=(raiz2)^2=2

Passo 5

Calculamos f''(x) e f''(c):
f''(x)=ddx(sec^2 x)=2sec^2 xtan x, f''l(tfracpi4r)=2cdot2cdot1=4

Passo 6

Substituímos no polinômio de Taylor de grau 2:
P2(x)=1 + 2,h + 42,h^2 = 1 + 2l(x-tfracpi4r) + 2l(x-tfracpi4r)^2

Resposta

Os três primeiros termos da série de Taylor de tan x em c=pi/4 são:
boxed1 + 2l(x-tfracpi4r) + 2l(x-tfracpi4r)^2

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