Determine a derivada de f, utilizando a regra da cadeia: f(x)=cotg(x^2)

Passo 1

A questão pede para calcular a derivada de f(x)=cotg(x²) usando regra da cadeia. O conteúdo envolve a derivada da função cotangente e a aplicação da regra da cadeia para uma composição de funções.

Passo 2

Primeiro, lembramos a derivada da cotangente: se g(u)=cotg(u), então a derivada é dada por g’(u)=−cosec²(u). Aqui cosec(u) é a função cosecante, que é 1/sen(u).
Em seguida, identificamos a parte interna da composição. No nosso caso, u(x)=x². A derivada de u em relação a x é u’(x)=2x.

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia: f(x)=g(u(x)) então
f'(x)=g'(u(x))cdot u'(x)

Passo 4

Substituindo g’(u)=−cosec²(u) e u(x)=x², além de u’(x)=2x, obtemos

Resposta

f’(x) = -2x cosec²(x²)

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