Resolva, em
, as inequações a seguir:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado pede para resolver, em
, cinco inequações que envolvem logaritmos de bases diferentes. Vamos precisar lembrar de duas coisas fundamentais: o domínio dos logaritmos (o argumento tem de ser positivo) e o fato de que, para
,
é crescente, enquanto que para
,
é decrescente.
Passo 2
Para a) temos
Domínio: , ou seja
.
Inequação: .
Como a base , a função é crescente, então
Domínio:
Inequação:
Como a base
Logo
. Combinando com o domínio:
.
Passo 3
Para b) aparece
. Mas base de logaritmo tem de satisfazer
e
. Como a base é
, o logaritmo não está definido em nenhum ponto. Portanto não há solução.
Passo 4
Para c)
Domínio: .
Inequação: .
Base é crescente, então retiramos o log e escrevemos
Domínio:
Inequação:
Base
Combinando com o domínio dá
.
Passo 5
Para d)
Domínio: precisamos de
Domínio: precisamos de
Ou seja
e
. Então
.
A inequação é
A inequação é
Numeração de propriedades: soma de logs vira log do produto,
base é crescente, então
base
Expandindo e reorganizando:
Fatorando:
Isso acontece se
ou
. Combinando com
sobra
Passo 6
Para e)
Domínio: e
e
leva a
.
Inequação:
Domínio:
Inequação:
Aqui a base
está entre 0 e 1, então o log é decrescente. Primeiro somamos os logs:
Como a função é decrescente, ao retirar o log o sinal inverte:
Isso dá
Que rende
ou
. Como precisamos de
, a solução final é
.
Resposta
a)
\ b) sem solução (base 1 não definida) \ c)
\ d)
\ e)