Resolva, em R, as inequações a seguir:
a) log 2(x-1)
b) log 1 x <= log 1 2
c) log 3 x>2
d) log 2(x-1)+log 2(x+2) >= log 2(-x+13)
e) log 0,1 x+log 0,1(x-2)

Passo 1

O enunciado pede para resolver, em R, cinco inequações que envolvem logaritmos de bases diferentes. Vamos precisar lembrar de duas coisas fundamentais: o domínio dos logaritmos (o argumento tem de ser positivo) e o fato de que, para a>1, loga é crescente, enquanto que para 0, loga é decrescente.

Passo 2

Para a) temos
Domínio: x-1>0, ou seja x>1.
Inequação: log2(x-1).
Como a base 2>1, a função é crescente, então
x-1<3
Logo x<4. Combinando com o domínio: 1.

Passo 3

Para b) aparece log1x. Mas base de logaritmo tem de satisfazer a>0 e aneq1. Como a base é 1, o logaritmo não está definido em nenhum ponto. Portanto não há solução.

Passo 4

Para c)
Domínio: x>0.
Inequação: log3x>2.
Base 3>1 é crescente, então retiramos o log e escrevemos
x>3^2=9
Combinando com o domínio dá x>9.

Passo 5

Para d)
Domínio: precisamos de
x-1>0, x+2>0, -x+13>0
Ou seja x>1 e x<13. Então 1.
A inequação é
log2(x-1)+log2(x+2)>=log2(-x+13)
Numeração de propriedades: soma de logs vira log do produto,
base 2>1 é crescente, então
(x-1)(x+2)>=13-x
Expandindo e reorganizando:
x^2+x-2>=13-x
x^2+2x-15>=0
Fatorando:
(x+5)(x-3)>=0
Isso acontece se x<=-5 ou x>=3. Combinando com 1 sobra
3<= x<13

Passo 6

Para e)
Domínio: x>0 e x-2>0 e x+10>0 leva a x>2.
Inequação:
log0.1x+log0.1(x-2)
Aqui a base 0.1 está entre 0 e 1, então o log é decrescente. Primeiro somamos os logs:
log0.1l(x(x-2)r)
Como a função é decrescente, ao retirar o log o sinal inverte:
x(x-2)>x+10
Isso dá
x^2-2x> x+10
x^2-3x-10>0
(x-5)(x+2)>0
Que rende x<-2 ou x>5. Como precisamos de x>2, a solução final é x>5.

Resposta

a) 1 \ b) sem solução (base 1 não definida) \ c) x>9 \ d) 3<= x<13 \ e) x>5

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