Use a fórmula da variação de parâmetros para encontrar uma solução geral do sistema.
ld xd t=2 x-y d yd t=3 x-2 y+4 t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando a fórmula da variação de parâmetros. O enunciado nos pede para encontrar a solução geral do sistema:
dxdt = 2x - y dydt = 3x - 2y + 4t
Para isso, vamos precisar entender como resolver sistemas lineares de equações diferenciais e aplicar a variação de parâmetros para encontrar uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver o sistema homogêneo associado, ou seja, sem o termo não homogêneo (o 4t). O sistema homogêneo é:
dxdt = 2x - y dydt = 3x - 2y
Podemos escrever isso na forma matricial: dXdt = AX, onde:
A = 2 & -1 3 & -2

Passo 3

Para resolver o sistema homogêneo, precisamos encontrar os valores próprios (autovalores) da matriz A. Calculamos o determinante |A - lambda I|:
det(A - lambda I) = 2 - lambda & -1 3 & -2 - lambda = (2 - lambda)(-2 - lambda) - (-1)(3)
Simplificando:
(2 - lambda)(-2 - lambda) + 3 = lambda^2 - 1
Resolvendo lambda^2 - 1 = 0, encontramos os valores próprios:
lambda1 = 1 e lambda2 = -1

Passo 4

Agora, encontramos os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio.
Para lambda1 = 1:
(A - I)v = 1 & -1 3 & -3 v1 v2 = 0
Resolvendo, temos v1 = v2. Então, um vetor próprio é v1 = 1 1 .
Para lambda2 = -1:
(A + I)v = 3 & -1 3 & -1 v1 v2 = 0
Resolvendo, temos v2 = 3v1. Então, um vetor próprio é v2 = 1 3 .

Passo 5

Com os valores próprios e vetores próprios, a solução geral do sistema homogêneo é:
Xh(t) = C1 e^lambda1 t v1 + C2 e^lambda2 t v2 = C1 e^t 1 1 + C2 e^-t 1 3
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, precisamos encontrar uma solução particular Xp(t) para o sistema completo. Como o termo não homogêneo é 4t, vamos supor que a solução particular tenha a forma:
Xp(t) = At + B Ct + D
Onde A, B, C e D são constantes a serem determinadas.

Passo 7

Derivamos Xp(t):
dXpdt = A C
Substituímos Xp(t) e sua derivada no sistema original:
A = 2(At + B) - (Ct + D) C = 3(At + B) - 2(Ct + D) + 4t

Passo 8

Vamos simplificar as equações:
Para a primeira equação:
A = 2At + 2B - Ct - D
Igualando os termos de mesma ordem:
  • Coeficiente de t: 0 = 2A - C
  • Termo constante: A = 2B - D
Para a segunda equação:
C = 3At + 3B - 2Ct - 2D + 4t
Igualando os termos de mesma ordem:
  • Coeficiente de t: 0 = 3A - 2C + 4
  • Termo constante: C = 3B - 2D

Passo 9

Resolvemos o sistema de equações:
  1. 2A - C = 0 C = 2A
  2. A = 2B - D
  3. 3A - 2C + 4 = 0
  4. C = 3B - 2D
Substituindo C = 2A na terceira equação:
3A - 2(2A) + 4 = 0 Rightarrow 3A - 4A + 4 = 0 Rightarrow -A + 4 = 0 Rightarrow A = 4
Então, C = 2 times 4 = 8.
Agora, usando a quarta equação:
8 = 3B - 2D
E da segunda equação:
4 = 2B - D Rightarrow D = 2B - 4
Substituindo D na quarta equação:
8 = 3B - 2(2B - 4) Rightarrow 8 = 3B - 4B + 8 Rightarrow -B + 8 = 8 Rightarrow B = 0
Então, D = 2 times 0 - 4 = -4.

Passo 10

Com os valores encontrados:
A = 4, B = 0, C = 8, D = -4
A solução particular é:
Xp(t) = 4t 8t - 4

Resposta

A solução geral do sistema é a soma da solução homogênea com a solução particular encontrada:
X(t) = C1 e^t 1 1 + C2 e^-t 1 3 + 4t 8t - 4
Onde C1 e C2 são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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