Use a fórmula da variação de parâmetros para encontrar uma solução geral do sistema.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando a fórmula da variação de parâmetros. O enunciado nos pede para encontrar a solução geral do sistema:
Para isso, vamos precisar entender como resolver sistemas lineares de equações diferenciais e aplicar a variação de parâmetros para encontrar uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver o sistema homogêneo associado, ou seja, sem o termo não homogêneo (o ). O sistema homogêneo é:
Podemos escrever isso na forma matricial: , onde:
Passo 3
Para resolver o sistema homogêneo, precisamos encontrar os valores próprios (autovalores) da matriz . Calculamos o determinante :
Simplificando:
(2 - lambda)(-2 - lambda) + 3 = lambda^2 - 1
Resolvendo lambda^2 - 1 = 0, encontramos os valores próprios:
lambda1 = 1 e lambda2 = -1
Passo 4
Agora, encontramos os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio.
Para lambda1 = 1:
(A - I)v = 1 & -1 3 & -3 v1 v2 = 0
Resolvendo, temos v1 = v2. Então, um vetor próprio é v1 = 1 1 .
Para lambda2 = -1:
(A + I)v = 3 & -1 3 & -1 v1 v2 = 0
Resolvendo, temos v2 = 3v1. Então, um vetor próprio é v2 = 1 3 .
Passo 5
Com os valores próprios e vetores próprios, a solução geral do sistema homogêneo é:
Agora, precisamos encontrar uma solução particularXp(t) para o sistema completo. Como o termo não homogêneo é 4t, vamos supor que a solução particular tenha a forma:
Xp(t) = At + B Ct + D
Onde A, B, C e D são constantes a serem determinadas.
Passo 7
Derivamos Xp(t):
dXpdt = A C
Substituímos Xp(t) e sua derivada no sistema original:
A = 2(At + B) - (Ct + D) C = 3(At + B) - 2(Ct + D) + 4t