Resolva as seguintes equações diferenciais:
y^prime prime-y^prime+14 y=3+e^x / 2

Passo 1

Temos a EDO de segunda ordem com coeficientes constantes
y''-y'+tfrac14y=3+e^x/2
O conteúdo é EDO linear não homogênea. Vamos usar a solução geral = solução da homogênea + particular.

Passo 2

Para achar a solução homogênea, montamos a equação característica
r^2 - r + tfrac14 = 0
O discriminante é De, logo temos raiz dupla
r = 12
Então
y_h = (C_1 + C_2 x)e^{x/2}.

Passo 3

Agora escolhemos um chute para a solução particular. O termo constante “3” pede um termo constante
yp1 = A
Já o termo e^x/2 está na homogênea com multiplicidade 2, então multiplicamos por x^2:
yp2 = Bx^2e^x/2
Logo
yp = A + Bx^2e^x/2 .

Passo 4

Calculamos derivadas de yp e substituímos:
Para A: contribui só tfrac14A.
Para Bx^2e^x/2:
yp' = B e^x/2(2x + tfracx^22), yp'' = B e^x/2l(tfracx^24 + 2x + 2r)
Substituindo em y''-y'+tfrac14y e agrupando, o coeficiente de e^x/2 vira 2B e o termo constante A/4.
Igualando ao lado direito:
A4 = 3, 2B = 1
Temos A=12 e B=tfrac12.

Passo 5

A solução geral é
y = yh + yp = (C1 + C2 x)e^x/2 + 12 + tfrac12 x^2e^x/2
Podemos reorganizar:
y = l(C1 + C2 x + tfracx^22r)e^x/2 + 12

Resposta

y = (C_1 + C_2 x)e^{x/2} + 12 + \tfrac12 x^2 e^{x/2}

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