Resolva as seguintes equações diferenciais:
Passo 1
Temos a EDO de segunda ordem com coeficientes constantes
O conteúdo é EDO linear não homogênea. Vamos usar a solução geral = solução da homogênea + particular.
Passo 2
Para achar a solução homogênea, montamos a equação característica
O discriminante é
, logo temos raiz dupla
Então
y_h = (C_1 + C_2 x)e^{x/2}.
y_h = (C_1 + C_2 x)e^{x/2}.
Passo 3
Agora escolhemos um chute para a solução particular. O termo constante “3” pede um termo constante
Já o termo
está na homogênea com multiplicidade 2, então multiplicamos por
:
Logo
Passo 4
Calculamos derivadas de
e substituímos:
Para : contribui só
.
Para :
Para
Para
Substituindo em
e agrupando, o coeficiente de
vira
e o termo constante
.
Igualando ao lado direito:
Igualando ao lado direito:
Temos
e
.
Passo 5
A solução geral é
Podemos reorganizar:
Resposta
y = (C_1 + C_2 x)e^{x/2} + 12 + \tfrac12 x^2 e^{x/2}