Resolva a equação de Cauchy-Euler:
x^2 y^prime prime+10 x y^prime+8 y=x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de Cauchy-Euler que é assim:
x^2 y'' + 10 x y' + 8 y = x^2
Esse tipo de equação é um tipo especial de equação diferencial que geralmente aparece quando temos coeficientes que são polinômios de x. Para resolver, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações homogêneas e métodos para encontrar soluções particulares. Não se preocupe, eu vou explicar cada passo!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
x^2 y'' + 10 x y' + 8 y = 0
Nas equações de Cauchy-Euler, a gente assume uma solução do tipo $ y = x^{r} $, onde $ r $ é um número que precisamos encontrar.

Passo 3

Vamos substituir $ y = x^{r} $ na equação homogênea.
Primeiro, calculemos as derivadas:
y = x^r
y' = r x^r-1
Substituindo na equação:
y'' = r (r - 1) x^r-2

Passo 4

Simplificando os termos:
r (r - 1) x^r + 10 r x^r + 8 x^r = 0
Fatorando $ x^{r} $:
x^r
Como $ x^{r} $ nunca é zero para $ x \neq 0 $, temos que:
x^r [r (r - 1) + 10 r + 8] = 0

Passo 5

Resolvendo a equação para $ r $:
r
r^2 - r + 10 r + 8 = 0
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
r^2 + 9 r + 8 = 0
Onde $ a = 1 $, $ b = 9 $ e $ c = 8 $. Calculando:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
a = 1
Então, temos duas soluções:
b = 9
c = 8

Passo 6

Com os valores de $ r $, a solução geral da equação homogênea é:
r
Onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes que determinamos com condições iniciais (se houver).

Passo 7

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
x^2 y'' + 10 x y' + 8 y = x^2
Como o lado direito é $ x^{2} $, tentamos uma solução do tipo $ y_{p} = A x^{2} $, onde $ A $ é uma constante a ser determinada.

Passo 8

Calculando as derivadas de $ y_{p} $:
yp
yp = A x^2
yp' = 2 A x
Substituindo na equação:
yp'' = 2 A
x^2 cdot 2 A + 10 x cdot 2 A x + 8 cdot A x^2 = x^2
2 A x^2 + 20 A x^2 + 8 A x^2 = x^2
(2A + 20A + 8A) x^2 = x^2

Passo 9

Para que a igualdade seja válida para todo $ x $, os coeficientes devem ser iguais:
x
30 A = 1
Então, a solução particular é:
A = 130

Passo 10

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y = yh + yp = C1 x^-1 + C2 x^-8 + 130 x^2

Resposta

A solução geral da equação de Cauchy-Euler dada é:
y = C1 x^-1 + C2 x^-8 + 130 x^2
Onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes arbitrárias.

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