Resolva a equação de Cauchy-Euler:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de Cauchy-Euler que é assim:
Esse tipo de equação é um tipo especial de equação diferencial que geralmente aparece quando temos coeficientes que são polinômios de
. Para resolver, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações homogêneas e métodos para encontrar soluções particulares. Não se preocupe, eu vou explicar cada passo!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Nas equações de Cauchy-Euler, a gente assume uma solução do tipo $ y = x^{r} $, onde $ r $ é um número que precisamos encontrar.
Passo 3
Vamos substituir $ y = x^{r} $ na equação homogênea.
Primeiro, calculemos as derivadas:
Substituindo na equação:
Passo 4
Simplificando os termos:
Fatorando $ x^{r} $:
Como $ x^{r} $ nunca é zero para $ x \neq 0 $, temos que:
Passo 5
Resolvendo a equação para $ r $:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Onde $ a = 1 $, $ b = 9 $ e $ c = 8 $. Calculando:
Então, temos duas soluções:
Passo 6
Com os valores de $ r $, a solução geral da equação homogênea é:
Onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes que determinamos com condições iniciais (se houver).
Passo 7
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o lado direito é $ x^{2} $, tentamos uma solução do tipo $ y_{p} = A x^{2} $, onde $ A $ é uma constante a ser determinada.
Passo 8
Calculando as derivadas de $ y_{p} $:
Substituindo na equação:
Passo 9
Para que a igualdade seja válida para todo $ x $, os coeficientes devem ser iguais:
Então, a solução particular é:
Passo 10
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação de Cauchy-Euler dada é:
Onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes arbitrárias.