Determine a derivada de f, utilizando a regra da cadeia: f(x)=ln (sen x)x.

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função f(x)=ln(sin x)x usando regra da cadeia e regra do quociente. Aqui vamos precisar saber: derivada de ln(u) é u'u, derivada de sin x é cos x, e aplicar a regra do quociente para u(x)/v(x).

Passo 2

Vamos chamar u(x)=ln(sin x) e v(x)=x. A regra do quociente diz que
f'(x)=u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2

Passo 3

Calculamos as derivadas separadas: para u(x)=ln(sin x) usamos cadeia:
u'(x)=1sin xcdotddx(sin x)=cos xsin x
E para v(x)=x temos
v'(x)=1

Passo 4

Substituindo na regra do quociente:
f'(x)=l(cos xsin xr),x - ln(sin x)cdot1x^2

Passo 5

Por fim, simplificamos a expressão. Note que cos xsin x=cot x. Assim:
f'(x)=xcot x - ln(sin x)x^2

Resposta

f'(x)=xcot x - ln(sin x)x^2.

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