A função
não está definida em
. É possível estendê-la para uma função contínua nesse ponto? Explique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão é sobre a função
, que não está definida quando
. O objetivo é ver se dá para ajustar essa função de maneira que ela fique contínua nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função contínua e como podemos manipular expressões algébricas para simplificar funções que parecem ter problemas em certos pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar por que a função
não está definida em
. Se substituirmos
por
na função, temos:
Esse resultado é indefinido porque não podemos dividir por zero. Além disso, a forma
indica que pode haver um “buraco” na função nesse ponto, mas talvez possamos “preencher” esse buraco de alguma forma.
Passo 3
Para verificar se é possível estender a função e torná-la contínua em
, vamos simplificar a expressão de
. Observe que o numerador
é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada:
Então, podemos reescrever a função
da seguinte maneira:
Passo 4
Agora, vemos que o termo
aparece tanto no numerador quanto no denominador. Para
, podemos simplificar a expressão cancelando esses termos:
Isso significa que, para todos os valores de
diferentes de
, a função
se comporta como a linha reta
.
Passo 5
Para estender a função e torná-la contínua em
, precisamos definir o valor de
de forma que a função não apresente “salto” nesse ponto. Como a função simplificada é
, vamos calcular o limite quando
se aproxima de
:
Passo 6
Portanto, se definirmos
, a função ficará contínua em
. Ou seja, estamos “preenchendo” o buraco com o valor que a função estaria tomando caso fosse contínua nesse ponto.
Resposta
Sim, é possível estender a função definindo
, assim a função fica contínua em
.