A função g(x)=x^2-4x-2 não está definida em x=2. É possível estendê-la para uma função contínua nesse ponto? Explique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão é sobre a função g(x)=x^2-4x-2, que não está definida quando x=2. O objetivo é ver se dá para ajustar essa função de maneira que ela fique contínua nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função contínua e como podemos manipular expressões algébricas para simplificar funções que parecem ter problemas em certos pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar por que a função g(x) não está definida em x=2. Se substituirmos x por 2 na função, temos:
g(2) = 2^2 - 42 - 2 = 4 - 40 = 00
Esse resultado é indefinido porque não podemos dividir por zero. Além disso, a forma 00 indica que pode haver um “buraco” na função nesse ponto, mas talvez possamos “preencher” esse buraco de alguma forma.

Passo 3

Para verificar se é possível estender a função e torná-la contínua em x=2, vamos simplificar a expressão de g(x). Observe que o numerador x^2 - 4 é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada:
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
Então, podemos reescrever a função g(x) da seguinte maneira:
g(x) = (x - 2)(x + 2)x - 2

Passo 4

Agora, vemos que o termo (x - 2) aparece tanto no numerador quanto no denominador. Para x neq 2, podemos simplificar a expressão cancelando esses termos:
g(x) = x + 2 quando x neq 2
Isso significa que, para todos os valores de x diferentes de 2, a função g(x) se comporta como a linha reta y = x + 2.

Passo 5

Para estender a função e torná-la contínua em x=2, precisamos definir o valor de g(2) de forma que a função não apresente “salto” nesse ponto. Como a função simplificada é y = x + 2, vamos calcular o limite quando x se aproxima de 2:
limx to 2 g(x) = limx to 2 (x + 2) = 2 + 2 = 4

Passo 6

Portanto, se definirmos g(2) = 4, a função ficará contínua em x=2. Ou seja, estamos “preenchendo” o buraco com o valor que a função estaria tomando caso fosse contínua nesse ponto.

Resposta

Sim, é possível estender a função definindo g(2) = 4, assim a função fica contínua em x=2.

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