Utilizando a versão integral da equação anterior, verifique que a conservação de massa explica a redução da espessura do fio de água que cai de uma torneira sob ação do campo gravitacional terrestre. Dica: escolha como região de integração um cilindro de altura
alinhado com a vertical e que contém todo o fio de água nessa altura.
Passo 1
O exercício pede para usar a forma integral da equação de continuidade (conservação de massa) para explicar por que o fio de água que escorre de uma torneira fica mais fino à medida que cai. O conteúdo envolve a versão integral da equação de continuidade e vai precisar do conceito de regime permanente e da relação entre velocidade e área de seção.
Passo 2
A forma integral da equação de continuidade é
Em regime permanente a primeira parcela (variação de massa no volume) é zero, sobrando
Passo 3
Escolhemos como volume de controle um cilindro de altura
alinhado com a vertical que envolve o fio entre duas seções transversais: a seção de topo (na torneira) com área
e velocidade de saída
, e a seção a uma distância
abaixo com área
e velocidade
. Nas paredes laterais do cilindro não há fluxo de massa.
Passo 4
O fluxo de massa na superfície total é a soma dos fluxos na seção de topo e na de baixo: apontando a normal para fora do volume, no topo o fluxo é
(velocidade entrando no volume) e embaixo é
(velocidade saindo). Assim a condição
implica
Passo 5
Como a água acelera sob a gravidade, a velocidade cresce com a altura percorrida: pela equação de Torricelli
$$
v(h) = \sqrt{v_0^2 + 2 g h}\n
A(h) = A_0\frac{v_0}{\sqrt{v_0^2 + 2gh}}$$
Isto mostra que a área de seção transversal (e portanto o diâmetro do fio) diminui conforme a velocidade aumenta.
Isto mostra que a área de seção transversal (e portanto o diâmetro do fio) diminui conforme a velocidade aumenta.
Resposta
A área do fio reduz-se segundo
ou seja, como a velocidade cresce com a altura, a seção transversal diminui, deixando o fio mais fino.