partial rhopartial t+nabla cdot(rho v)=0
Utilizando a versão integral da equação anterior, verifique que a conservação de massa explica a redução da espessura do fio de água que cai de uma torneira sob ação do campo gravitacional terrestre. Dica: escolha como região de integração um cilindro de altura h alinhado com a vertical e que contém todo o fio de água nessa altura.

Passo 1

O exercício pede para usar a forma integral da equação de continuidade (conservação de massa) para explicar por que o fio de água que escorre de uma torneira fica mais fino à medida que cai. O conteúdo envolve a versão integral da equação de continuidade e vai precisar do conceito de regime permanente e da relação entre velocidade e área de seção.

Passo 2

A forma integral da equação de continuidade é
ddtintegralV rho,dV + ointpartial V rho, vcdot n,dS = 0
Em regime permanente a primeira parcela (variação de massa no volume) é zero, sobrando
ointpartial V rho, vcdot n,dS = 0

Passo 3

Escolhemos como volume de controle um cilindro de altura h alinhado com a vertical que envolve o fio entre duas seções transversais: a seção de topo (na torneira) com área A0 e velocidade de saída v0, e a seção a uma distância h abaixo com área A(h) e velocidade v(h). Nas paredes laterais do cilindro não há fluxo de massa.

Passo 4

O fluxo de massa na superfície total é a soma dos fluxos na seção de topo e na de baixo: apontando a normal para fora do volume, no topo o fluxo é -rho v0 A0 (velocidade entrando no volume) e embaixo é +rho v(h)A(h) (velocidade saindo). Assim a condição
-rho v0 A0 + rho v(h) A(h) = 0
implica
rho v0 A0 = rho v(h) A(h) Longrightarrow A(h) = A0v0v(h)

Passo 5

Como a água acelera sob a gravidade, a velocidade cresce com a altura percorrida: pela equação de Torricelli
$$
v(h) = \sqrt{v_0^2 + 2 g h}\n v(h) = raizv0^2 + 2 g hn
A(h) = A_0\frac{v_0}{\sqrt{v_0^2 + 2gh}}$$
Isto mostra que a área de seção transversal (e portanto o diâmetro do fio) diminui conforme a velocidade aumenta.

Resposta

A área do fio reduz-se segundo
A(h)=A0v0raizv0^2+2gh,
ou seja, como a velocidade cresce com a altura, a seção transversal diminui, deixando o fio mais fino.

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