Determine a derivada de f, utilizando a regra da cadeia: f(x)=sen^2 x-cos ^2 x.

Passo 1

Temos a função f(x)=sin^2 x - cos^2 x. O conteúdo é derivada de funções compostas (regra da cadeia) e vamos precisar derivar cada termo sin^2 x e cos^2 x.

Passo 2

A regra da cadeia diz que, se temos uma função composta h(x)=g(u(x)), então h'(x)=g'(u(x))cdot u'(x). No nosso caso, para cada termo o núcleo é u(x)=sin x ou u(x)=cos x e a função externa é g(u)=u^2.

Passo 3

Para sin^2 x: tomamos u(x)=sin x e g(u)=u^2. Assim, g'(u)=2u e u'(x)=cos x. Logo,
(sin^2 x)'=2sin xcdotcos x

Passo 4

Para -cos^2 x: primeiro derivamos cos^2 x. Tomamos u(x)=cos x e g(u)=u^2, então g'(u)=2u e u'(x)=-sin x. Assim,
(cos^2 x)'=2cos xcdot(-sin x)=-2sin xcos x
E como na função original temos um sinal menos,
(-cos^2 x)'=-l(-2sin xcos xr)=2sin xcos x

Passo 5

Somando as duas derivadas temos
f'(x)=2sin xcos x+2sin xcos x=4sin xcos x

Passo 6

Usando a identidade sin(2x)=2sin xcos x, podemos simplificar:
4sin xcos x=2sin(2x)

Resposta

f’(x)=2\sin(2x)

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