Beleza, vamos resolver esse PVI juntos! A questão nos dá um sistema de equações diferenciais lineares com uma matriz de coeficientes específica e uma condição inicial. A matéria envolvida aqui é sistemas lineares de equações diferenciais com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores da matriz, além de usar a exponencial de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz $ A $ do sistema:
A
E a condição inicial é:
A = 1 & 2 & -1 1 & 0 & 1 4 & -4 & 5
Nosso objetivo é encontrar a solução geral do sistema $ \mathbf{X}’ = A\mathbf{X} $ que satisfaça essa condição inicial.
Passo 3
Vamos começar encontrando os autovalores de $ A $. Para isso, resolvemos o determinante $ \det(A - \lambda I) = 0 $:
A
Calculando esse determinante, obtemos o polinômio característico e encontramos as raízes $ \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 $.
Passo 4
Após encontrar os autovalores, vamos determinar os autovetores correspondentes a cada $ \lambda $. Para cada autovalor $ \lambda_i $, resolvemos o sistema $ (A - \lambda_i I)\mathbf{v} = 0 $ para encontrar o autovetor $ \mathbf{v}_i $.
Passo 5
Com os autovalores e autovetores em mãos, a solução geral do sistema é uma combinação linear das soluções encontradas:
X(t) = c1 e^lambda1 t v1 + c2 e^lambda2 t v2 + c3 e^lambda3 t v3
Onde $ c_1, c_2, c_3 $ são constantes que determinaremos usando a condição inicial.
Passo 6
Aplicamos a condição inicial $ \mathbf{X}(0) = X(0) = -1 0 0 $ na solução geral:
-1 0 0 = c1 v1 + c2 v2 + c3 v3
Resolvendo esse sistema de equações, encontramos os valores de $ c_1, c_2, c_3 $.
Resposta
A solução do PVI é:
X(t) = c1 e^lambda1 t v1 + c2 e^lambda2 t v2 + c3 e^lambda3 t v3
Onde $ c_1, c_2, c_3 $ são determinados pelos autovalores e autovetores da matriz $ A $ e satisfazem a condição inicial $ \mathbf{X}(0) = c1, c2, c3 $.