Determine a derivada de f, utilizando a “regra da cadeia”, se:
f(z)=raizcos z a^raizcos z

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função f(z)=raizcos z,a^raizcos z usando a regra da cadeia. O conteúdo é derivação de produto e exponencial composta, e vamos precisar identificar a parte interna u=raizcos z e aplicar regra do produto e cadeia.

Passo 2

Definimos a função interna u(z)=raizcos z. Então podemos reescrever f como produto de duas funções de u:
f(z)=u(z)cdot a^u(z)
Para derivar esse produto usamos a regra do produto:
ddz(ucdot v)=u',v+u,v'

Passo 3

onde v(z)=a^u(z). Além disso, para derivar v aplicamos a cadeia na exponencial:
v' = ddzl(a^u(z)r) = a^u(z)ln acdot u'(z)

Passo 4

Agora calculamos u'(z). Como u=(cos z)^1/2, pela regra da cadeia:
u'(z)=tfrac12(cos z)^-1/2cdot(-sin z) = -sin z2raizcos z
Substituindo tudo em f' = u',v + u,v' temos:
f'(z) = u'(z),a^u(z) + u(z)l(a^u(z)ln a,u'(z)r) = u'(z)a^u(z)l(1 + u(z)ln ar)

Passo 5

Finalmente, voltando a u(z)=raizcos z e u'(z)=-dfracsin z2raizcos z,
f'(z) = -sin z2raizcos z,a^raizcos zl(1 + raizcos z,ln ar)

Resposta

-\frac{\sin z}{2\sqrt{\cos z}},a^{\sqrt{\cos z}}\Bigl(1 + \sqrt{\cos z},\ln a\Bigr)

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