Questão 04

Seja lim (x, y, z) (1,2,1) f(x, y, z)
Determine (1,2,3)
(1,1,1)
(0,1,1)
(1,2,1)
(1,1,3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma função vetorial f(x, y, z) = (e^x-1, y(x-1)x^2-1, 3 x z) e precisamos descobrir qual é o limite dessa função quando (x, y, z) se aproxima de (1, 2, 1). Para isso, vamos usar conceitos de limites em funções de várias variáveis e resolver componente por componente.

Passo 2

Vamos começar analisando a primeira componente da função, que é e^x-1.
Lembre-se que a função exponencial e^u é contínua para todo u, o que significa que podemos simplesmente substituir o valor que x está se aproximando. Aqui, x está se aproximando de 1, então:
limx to 1 e^x-1 = e^1-1 = e^0 = 1

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente: y(x-1)x^2-1.
Primeiro, vamos simplificar essa expressão. Observe que x^2 - 1 pode ser fatorado como (x - 1)(x + 1). Assim, temos:
y(x-1)x^2-1 = y(x-1)(x - 1)(x + 1) = yx + 1
Isso é válido para x neq 1, mas como estamos calculando um limite quando x se aproxima de 1, podemos usar essa simplificação. Agora, substituímos x por 1 e y por 2:
lim(x, y) to (1, 2) yx + 1 = 21 + 1 = 22 = 1

Passo 4

Finalmente, vamos olhar para a terceira componente: 3xz.
Aqui, a função é simplesmente um produto das variáveis x e z, multiplicado por 3. Como todas as funções polinomiais são contínuas, podemos substituir diretamente os valores que x e z estão se aproximando:
lim(x, z) to (1, 1) 3xz = 3 times 1 times 1 = 3

Resposta

Portanto, o limite da função f(x, y, z) quando (x, y, z) se aproxima de (1, 2, 1) é:
(1, 1, 3)

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