Determine a derivada de f, utilizando a regra da cadeia: f(z)=tg^2(5 z)

Passo 1

O exercício pede para derivar a função f(z)=tan^2(5z) usando a regra da cadeia. O conteúdo envolvido é a derivada de uma potência e a derivada da função tangente.

Passo 2

Vamos ver f(z) como composição de duas funções: g(u)=u^2 e h(z)=tan(5z). Primeiro, derivamos cada uma:
A derivada de g(u)=u^2 é
g'(u)=2u
A derivada de h(z)=tan(5z) usa que ddztan(u)=sec^2(u) junto com a derivada de 5z, dando
h'(z)=sec^2(5z)cdot 5=5sec^2(5z)

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia:
f'(z)=g'(h(z))cdot h'(z)=2l(tan(5z)r)timesl(5sec^2(5z)r)=10,tan(5z),sec^2(5z)

Resposta

f'(z)=10,tan(5z),sec^2(5z)

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