Determine a derivada:
f(x)=e^-3 x+ln (arctan x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=e^-3x+lnl(arctan xr).
O conteúdo principal aqui é derivação de soma, uso da regra da cadeia para exponencial e para logaritmo.

Passo 2

Para e^-3x usamos a regra da cadeia: se g(x)=e^u(x) então
g'(x)=u'(x),e^u(x)
Aqui u(x)=-3x e u'(x)=-3, logo
ddxe^-3x=-3,e^-3x

Passo 3

Para lnl(arctan xr) também aplicamos a regra da cadeia em duas etapas: primeiro a derivada de ln(v) é v'v, depois a derivada de v(x)=arctan x é 11+x^2. Assim
ddxlnl(arctan xr) =ddxarctan xarctan x =tfrac11+x^2arctan x =1(arctan x),(1+x^2)

Passo 4

Somando as duas derivadas, obtemos
f'(x)=-3,e^-3x+1(arctan x),(1+x^2)

Resposta

f'(x)=-3,e^-3x+1(arctan x),(1+x^2)

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