Determine a derivada de:
(f) ; f(x)=x^2 e^arctg(2 x)

Passo 1

A gente tem a função f(x)=x^2 e^arctan(2x). O conteúdo aqui é derivada de produto e de função composta (exponencial e arctan). Vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Para aplicar a regra do produto, escrevemos f(x)=u(x),v(x) com u(x)=x^2 e v(x)=e^arctan(2x). A regra diz: f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais:
Para u(x)=x^2, temos u'(x)=2x.
Para v(x)=e^arctan(2x), usamos a regra da cadeia: primeiro derivamos o exponencial deixando ele igual e multiplicamos pela derivada do expoente. A derivada de arctan(2x) é ddxl(arctan(2x)r)=21+(2x)^2=21+4x^2
Logo
v'(x)=e^arctan(2x)cdot21+4x^2

Passo 4

Substituindo na regra do produto:
f'(x)=2x,e^arctan(2x)+x^2,e^arctan(2x)cdot21+4x^2

Passo 5

Agora fatoramos e^arctan(2x) e simplificamos:
$$f’(x)=e{\arctan(2x)}\Bigl(2x+\frac{2x2}{1+4x^2}\Bigr).
f'(x)=e^arctan(2x)l(2x+2x^21+4x^2r) f’(x)=2x\frac{4x2+x+1}{1+4x2},e^{\arctan(2x)}.$$

Resposta

f'(x)=e^arctan(2x)l(2x+2x^21+4x^2r) =2x4x^2+x+11+4x^2,e^arctan(2x)

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