Determine f^prime, f^prime prime e f^prime prime prime considerando as funções abaixo:
(a) ; f(x)=x^3+5 x^2+3 x+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas de primeira, segunda e terceira ordem da função polinomial. O conteúdo é derivação de polinômios e vamos usar a regra básica: a derivada de x^n é n x^n-1.

Passo 2

Vamos derivar termo a termo para obter f'(x):
f'(x)=ddxl(x^3r)+ddxl(5x^2r)+ddxl(3xr)+ddxl(1r)
Aplicando a regra:
f'(x)=3x^2+10x+3+0
Então:
f'(x)=3x^2+10x+3

Passo 3

Para obter f''(x), derivamos f'(x) termo a termo:
f''(x)=ddxl(3x^2r)+ddxl(10xr)+ddxl(3r)
Aplicando a regra:
f''(x)=6x+10+0
Portanto:
f''(x)=6x+10

Passo 4

Por fim, para f'''(x), derivamos f''(x):
f'''(x)=ddxl(6xr)+ddxl(10r)
Aplicando a regra:
f'''(x)=6+0
Logo:
f'''(x)=6

Resposta

f'(x)=3x^2+10x+3
f''(x)=6x+10
f'''(x)=6

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