Soma da Série de Potências: Encontre a soma da seguinte série:
Passo 1
Beleza! A gente tem que encontrar a soma da série de potências
. Isso envolve conceitos de séries infinitas e funções geométricas. Pra resolver, a gente vai precisar entender como somar séries geométricas e aplicar a fórmula correta.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a série:
. Aqui, cada termo da série é
multiplicado por
. Podemos reescrever
como
, então a série fica:
Passo 3
Agora, percebemos que essa série é uma série geométrica, onde cada termo é uma constante (a razão) elevada à potência
. A série geométrica geral é:
Nesse caso,
.
Passo 4
Para que a série geométrica convirja, a razão
deve satisfazer
. Então, precisamos que:
Isso significa que a fórmula da soma será válida para
.
Passo 5
Aplicando a fórmula da série geométrica à nossa série, temos:
Resposta
A soma da série é
para
.