Soma da Série de Potências: Encontre a soma da seguinte série:
sumn=0^infty(-1)^n x^2 n

Passo 1

Beleza! A gente tem que encontrar a soma da série de potências . Isso envolve conceitos de séries infinitas e funções geométricas. Pra resolver, a gente vai precisar entender como somar séries geométricas e aplicar a fórmula correta.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a série: sumn=0^infty [(-1) x^2]^n . Aqui, cada termo da série é multiplicado por . Podemos reescrever como , então a série fica:

Passo 3

Agora, percebemos que essa série é uma série geométrica, onde cada termo é uma constante (a razão) elevada à potência sumn=0^infty r^n = 11 - r, quando |r| < 1 . A série geométrica geral é:
Nesse caso, .

Passo 4

Para que a série geométrica convirja, a razão |-x^2| < 1 Rightarrow |x^2| < 1 Rightarrow |x| < 1 deve satisfazer . Então, precisamos que:
Isso significa que a fórmula da soma será válida para .

Passo 5

Aplicando a fórmula da série geométrica à nossa série, temos:
sumn=0^infty (-x^2)^n = 11 - (-x^2) = 11 + x^2

Resposta

A soma da série é para .

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