Determine a derivada de:
(f) f(x)=x^2 e^arctg(2 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar a derivada da função . Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente usando a regra do produto e a regra da cadeia. Vamos precisar aplicar essas regras para encontrar a derivada dessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que nossa função é o produto de duas funções: e . Para derivar , usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é .

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada de u'(x) = 2x . A derivada de é , então:

Passo 4

Agora, vamos derivar . Aqui, precisamos usar a regra da cadeia, que é necessária quando temos uma função composta. A regra da cadeia diz que a derivada de é , onde .

Passo 5

Para encontrar g'(x) = 21 + (2x)^2 = 21 + 4x^2 , onde , usamos a derivada da função arco-tangente. A derivada de é . Aqui, , então . Portanto:

Passo 6

Agora que temos v'(x) = e^arctan(2x) cdot 21 + 4x^2 , podemos retornar à derivada de :

Passo 7

Com as derivadas de f'(x) = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x) e f'(x) = 2x cdot e^arctan(2x) + x^2 cdot ( e^arctan(2x) cdot 21 + 4x^2 ) encontradas, aplicamos a regra do produto:
Substituindo:

Passo 8

Podemos simplificar fatorando f'(x) = e^arctan(2x) ( 2x + 2x^21 + 4x^2 ) :

Passo 9

Para simplificar ainda mais, podemos combinar os termos:
f'(x) = 2x e^arctan(2x) ( 1 + x1 + 4x^2 )

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = 2x e^arctan(2x) ( 1 + x1 + 4x^2 )

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