Determine a derivada de:
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar a derivada da função
. Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente usando a regra do produto e a regra da cadeia. Vamos precisar aplicar essas regras para encontrar a derivada dessa função.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que nossa função é o produto de duas funções:
e
. Para derivar
, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada de
. A derivada de
é
, então:
Passo 4
Agora, vamos derivar
. Aqui, precisamos usar a regra da cadeia, que é necessária quando temos uma função composta. A regra da cadeia diz que a derivada de
é
, onde
.
Passo 5
Para encontrar
, onde
, usamos a derivada da função arco-tangente. A derivada de
é
. Aqui,
, então
. Portanto:
Passo 6
Agora que temos
, podemos retornar à derivada de
:
Passo 7
Com as derivadas de
e
encontradas, aplicamos a regra do produto:
Substituindo:
Passo 8
Podemos simplificar fatorando
:
Passo 9
Para simplificar ainda mais, podemos combinar os termos:
Resposta
A derivada da função é: