Determine e faça o esborço das curvas de nível da função.
z=yx-1;

Passo 1

Resumo do enunciado e do conteúdo: temos a função de duas variáveis z=f(x,y)=yx-1. Nosso objetivo é determinar as curvas de nível, ou seja, os conjuntos de pontos (x,y) tais que f(x,y)=k para um valor fixo k, e em seguida esboçar essas curvas no plano xy.

Passo 2

Aplicação da definição de curva de nível: para um nível k qualquer, impomos
yx-1=k

Passo 3

Isolando y: multiplicamos ambos os lados por x-1 (lembrando que xneq1 no domínio) e obtemos
y=k(x-1)

Passo 4

Interpretação geométrica: cada nível k corresponde a uma reta de inclinação k que passa pelo ponto (1,0). Como x=1 está excluído do domínio da função, as retas se aproximam dessa linha vertical, mas não a interceptam ao definir z.

Passo 5

Esboço das curvas de nível: basta desenhar algumas retas para diferentes valores de k, por exemplo:
k=0: reta y=0 (eixo x),
k=1: reta y=x-1,
k=-1: reta y=-(x-1),
k=2: reta y=2(x-1), etc.,
todas interceptando o ponto (1,0) com inclinações correspondentes.

Resposta

As curvas de nível são dadas pela família de retas y=k(x-1), onde kinR. Cada reta passa por (1,0) e tem inclinação igual a k.

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