Determine e faça o esborço das curvas de nível da função.
;
Passo 1
Resumo do enunciado e do conteúdo: temos a função de duas variáveis
. Nosso objetivo é determinar as curvas de nível, ou seja, os conjuntos de pontos
tais que
para um valor fixo
, e em seguida esboçar essas curvas no plano
.
Passo 2
Aplicação da definição de curva de nível: para um nível
qualquer, impomos
Passo 3
Isolando
: multiplicamos ambos os lados por
(lembrando que
no domínio) e obtemos
Passo 4
Interpretação geométrica: cada nível
corresponde a uma reta de inclinação
que passa pelo ponto
. Como
está excluído do domínio da função, as retas se aproximam dessa linha vertical, mas não a interceptam ao definir
.
Passo 5
Esboço das curvas de nível: basta desenhar algumas retas para diferentes valores de
, por exemplo:
– : reta
(eixo
),
– : reta
,
– : reta
,
– : reta
, etc.,
todas interceptando o ponto com inclinações correspondentes.
–
–
–
–
todas interceptando o ponto
Resposta
As curvas de nível são dadas pela família de retas
, onde
. Cada reta passa por
e tem inclinação igual a
.