Determine e faça o esborço do domínio da função.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir e desenhar o domínio da função $ f(x, y) = \frac{\sqrt{x}}{\ln \left(y^{2}-x\right)} $. Isso envolve entender onde essa função está “valendo a pena”, ou seja, onde ela está bem definida. Para isso, vamos precisar mexer com raízes quadradas e logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o numerador: $ \sqrt{x} $. A raiz quadrada só dá resultado real se o que está dentro for maior ou igual a zero. Então, temos que:
Isso é a primeira condição para nosso domínio.
Passo 3
Agora, vamos pro denominador: $ \ln(y^{2} - x) $. O logaritmo natural só está definido para números positivos. Portanto, o que está dentro do logaritmo tem que ser maior que zero:
Isso nos dá a segunda condição.
Passo 4
Além disso, o denominador não pode ser zero porque não dá pra dividir por zero, né? O logaritmo dá zero quando seu argumento é 1. Então, precisamos que:
Essa é a terceira condição para o domínio.
Passo 5
Vamos resumir as condições que temos:
- $ x \geq 0 $
- $ y^{2} - x > 0 $ (ou seja, $ y^{2} > x $)
- $ y^{2} - x \neq 1 $ (ou seja, $ y^{2} \neq x + 1 $)
Resposta
Então, o domínio da função é o conjunto de todos os pares $ (x, y) $ que satisfazem: