Determine a derivada de:
f(x)=e^3 x arctg(2 x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=e^3x,arctan(2x)
O conteúdo aqui envolve derivação de produto de funções e regra da cadeia. Vamos precisar saber:
– derivada de e^g(x) usando regra da cadeia;
– derivada de arctan(u) usando regra da cadeia;
– regra do produto para funções u(x)v(x).

Passo 2

Identificamos as duas funções que compõem o produto:
u(x)=e^3x, v(x)=arctan(2x)

Passo 3

Calculamos u'(x) aplicando a regra da cadeia em e^3x:
u'(x) =ddxe^3x =e^3xcdotddx(3x) =3e^3x

Passo 4

Calculamos v'(x) aplicando a regra da cadeia em arctan(2x):
v'(x) =ddxl(arctan(2x)r) =11+(2x)^2cdotddx(2x) =21+4x^2

Passo 5

Aplicamos a regra do produto:
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)
Substituindo u, u', v e v':
f'(x) =3e^3x,arctan(2x) +e^3x,21+4x^2

Passo 6

Podemos fatorar e^3x para simplificar a expressão:
f'(x) =e^3xl(3,arctan(2x)+21+4x^2r)

Resposta

f'(x) =e^3xl(3,arctan(2x)+21+4x^2r)

Exercícios relacionados