Resolva os limites, fugindo das indeterminações
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
. Discutir como resolver limites que apresentam as formas indeterminadas
,
,
,
,
,
,
,
, fugindo dessas indeterminações.
. Calcular o limite
Vamos primeiro mostrar as técnicas gerais para cada forma indeterminada e depois aplicar ao limite dado.
Passo 2
Para a forma
(e analogamente
), o truque é escrever a diferença sobre um denominador comum ou fatorar o termo que domina ambas as parcelas. Por exemplo, se temos
ambas as parcelas crescem como
. Para evitar a indeterminação, multiplicamos por conjugado:
que é uma expressão que tende a
quando
, sem indeterminação.
Passo 3
Para a forma
, escrevemos o produto como quociente de modo que surja uma forma
ou
, para então aplicar l’Hôpital ou fatorações. Por exemplo,
dá
. Reescrevemos
que agora é
. Aí podemos aplicar l’Hôpital com derivadas de
e
.
Passo 4
As formas
e
são tratadas principalmente pelo teorema de l’Hôpital ou por fatoração:
- Se for um quociente de polinômios de mesmo grau, podemos dividir numerador e denominador pelo maior grau de
. - Se for raiz, exponencial, log, aplicamos l’Hôpital: derivamos numerador e denominador até eliminar a indeterminação.
Passo 5
Para as formas exponenciais
,
,
, usamos o truque da exponencial e logaritmo:
. Escrevemos
.
. Estudamos o limite de
, que costuma reduzir a uma forma
ou
.
. Calculamos esse limite com l’Hôpital ou fatoração e depois voltamos à exponencial.
Passo 6
Agora aplicamos essas ideias ao limite pedido: