Resolva os limites, fugindo das indeterminações
+infty-(+infty),-infty-(-infty), 0 cdot infty, inftyinfty, 00, 1^infty, 0^0, infty^0.
lim x -1^+ 3 x^2-41-x^2

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
1. Discutir como resolver limites que apresentam as formas indeterminadas
+infty - (+infty), -infty - (-infty), 0cdotinfty, tfracinftyinfty, tfrac00, 1^infty, 0^0, infty^0, fugindo dessas indeterminações.
2. Calcular o limite
limxto -1^+ 3x^2-41-x^2
Vamos primeiro mostrar as técnicas gerais para cada forma indeterminada e depois aplicar ao limite dado.

Passo 2

Para a forma +infty - (+infty) (e analogamente -infty - (-infty)), o truque é escrever a diferença sobre um denominador comum ou fatorar o termo que domina ambas as parcelas. Por exemplo, se temos
f(x)=raizx^2+1-x,
ambas as parcelas crescem como xto+infty. Para evitar a indeterminação, multiplicamos por conjugado:
raizx^2+1-x =l(raizx^2+1-xr)raizx^2+1+xraizx^2+1+x =x^2+1-x^2raizx^2+1+x =1raizx^2+1+x,
que é uma expressão que tende a 0 quando xto+infty, sem indeterminação.

Passo 3

Para a forma 0cdotinfty, escrevemos o produto como quociente de modo que surja uma forma tfrac00 ou tfracinftyinfty, para então aplicar l’Hôpital ou fatorações. Por exemplo,
xln x (xto0^+)
0cdot(-infty). Reescrevemos
xln x =ln x1/x,
que agora é tfrac-infty+infty. Aí podemos aplicar l’Hôpital com derivadas de ln x e 1/x.

Passo 4

As formas tfracinftyinfty e tfrac00 são tratadas principalmente pelo teorema de l’Hôpital ou por fatoração:
  • Se for um quociente de polinômios de mesmo grau, podemos dividir numerador e denominador pelo maior grau de x.
  • Se for raiz, exponencial, log, aplicamos l’Hôpital: derivamos numerador e denominador até eliminar a indeterminação.

Passo 5

Para as formas exponenciais 1^infty, 0^0, infty^0, usamos o truque da exponencial e logaritmo:
1. Escrevemos f(x)^g(x) = expl(g(x)ln f(x)r).
2. Estudamos o limite de g(x)ln f(x), que costuma reduzir a uma forma tfrac00 ou tfracinftyinfty.
3. Calculamos esse limite com l’Hôpital ou fatoração e depois voltamos à exponencial.

Passo 6

Agora aplicamos essas ideias ao limite pedido:
limxto -1^+ 3x^2-41-x^2
1. Primeiro vemos que xto -1^+ implica x^2to 1^-.
2. No numerador 3x^2-4to 3cdot1-4=-1.
3. No denominador 1-x^2to 1-1=0, mas como x^2<1 para x ligeiramente maior que -1, temos 1-x^2>0.
4. Portanto a fração tende a
-10^+ = -infty

Resposta

-infty

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