Deseja-se construir uma caixa, de forma cilíndrica, de
de volume. Nas laterais e no fundo será utilizado material que custa 20 reais o metro quadrado e na tampa material de 10 reais o metro quadrado. Determine as dimensões da caixa que minimizem o custo do material empregado.
Passo 1
O que o problema pede e o que nos é dado.\n
- Pede-se encontrar as dimensões (raio e altura) de uma caixa cilíndrica que minimizem o custo do material.
- Informações dadas:
- Volume da caixa:
. - Custo do material das laterais e do fundo:
. - Custo do material da tampa:
.
- Volume da caixa:
- Variáveis que vamos usar (a declarar claramente):
-
= raio da base (em metros). -
= altura do cilindro (em metros).
-
- Objetivo: escrever o custo total em função de
e , usar a restrição do volume para eliminar uma variável, e então minimizar o custo em função de uma única variável.
Passo 2
Fórmula do volume e uso da restrição.\n
A fórmula do volume de um cilindro é
A fórmula do volume de um cilindro é
Como
, a restrição é
Dessa relação podemos resolver para a altura:
Explicação didática rápida:
é a área da base; multiplicando pela altura obtemos o volume. Aqui vamos usar essa equação para eliminar
mais adiante.
Passo 3
Áreas das superfícies (para calcular custo).\n
Num cilindro com tampa e fundo:
Num cilindro com tampa e fundo:
- Área lateral:
. (A ideia: a lateral desenrolada vira um retângulo com altura e largura .) - Área do fundo:
. - Área da tampa:
.
Anote mental: a tampa e o fundo têm a mesma área, pois são círculos de raio.
Passo 4
Montar a função custo total em termos de
e
.\n
O custo total é soma dos custos das partes, considerando os preços por metro quadrado:
O custo total
Substituindo as áreas:
Distribuindo e somando termos semelhantes:
Comentário didático: aqui agrupamos o custo do fundo (20) com o da tampa (10) separadamente porque têm preços diferentes; por isso aparecem coeficientes diferentes no termo
.
Passo 5
Eliminar
usando a restrição do volume e obter
como função de uma variável.\n
Substituindo em
:
Substituindo
Simplificando o primeiro termo (
cancela e
):
Explicação: agora temos o custo apenas em função de
. A minimização fica mais simples porque é um problema de uma variável.
Passo 6
Encontrar o ponto crítico: derivada e equação para
.\n
Para minimizar calculamos a derivada e igualamos a zero. A derivada é
Para minimizar
Passo a passo do cálculo da derivada:
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Agora igualamos a zero para achar pontos críticos:
Multiplicando ambos os lados por
(válido pois
):
Isolando
:
Portanto
Comentário amigável: encontramos uma expressão exata para o raio ótimo; bate aquela sensação boa de ver uma raiz cúbica aparecer.
Passo 7
Confirmar que o ponto crítico é mínimo e obter
.\n
Primeiro, segunda derivada para testar mínimo:
Primeiro, segunda derivada para testar mínimo:
Como
, temos
, logo o ponto crítico é um mínimo (curva para cima). Então o valor de
encontrado minimiza o custo.\n
Agora encontramos usando a relação do volume. Uma forma rápida é notar que
Agora encontramos
Mas de
segue
. Substituindo:
Logo
Isso é bonito e útil: a altura ótima vale
vezes o raio ótimo. Usando
obtemos
Se quiser valores numéricos (aproximação):
Palavra de incentivo: ótimo! já temos a solução e sabemos que é um mínimo — missão cumprida.