Deseja-se construir uma caixa, de forma cilíndrica, de 1 m^{3} de volume. Nas laterais e no fundo será utilizado material que custa 20 reais o metro quadrado e na tampa material de 10 reais o metro quadrado. Determine as dimensões da caixa que minimizem o custo do material empregado.

Passo 1

O que o problema pede e o que nos é dado.\n
  • Pede-se encontrar as dimensões (raio e altura) de uma caixa cilíndrica que minimizem o custo do material.
  • Informações dadas:
    • Volume da caixa: \,1\\ \text{m}^3.
    • Custo do material das laterais e do fundo: \,20\\ \text{R\$/m}^2.
    • Custo do material da tampa: \,10\\ \text{R\$/m}^2.
  • Variáveis que vamos usar (a declarar claramente):
    • \,r = raio da base (em metros).
    • \,h = altura do cilindro (em metros).
  • Objetivo: escrever o custo total em função de \,r e \,h, usar a restrição do volume para eliminar uma variável, e então minimizar o custo em função de uma única variável.

Passo 2

Fórmula do volume e uso da restrição.\n
A fórmula do volume de um cilindro é
V=\pi r^{2}h.
Como \,V=1\\ \text{m}^3, a restrição é
\pi r^{2}h=1.
Dessa relação podemos resolver para a altura:
h=\frac{1}{\pi r^{2}}.
Explicação didática rápida: \pi r^{2} é a área da base; multiplicando pela altura obtemos o volume. Aqui vamos usar essa equação para eliminar h mais adiante.

Passo 3

Áreas das superfícies (para calcular custo).\n
Num cilindro com tampa e fundo:
  • Área lateral: A_{\text{lat}}=2\pi r h. (A ideia: a lateral desenrolada vira um retângulo com altura h e largura 2\pi r.)
  • Área do fundo: A_{\text{fundo}}=\pi r^{2}.
  • Área da tampa: A_{\text{tampa}}=\pi r^{2}.
    Anote mental: a tampa e o fundo têm a mesma área, pois são círculos de raio r.

Passo 4

Montar a função custo total em termos de r e h.\n
O custo total C é soma dos custos das partes, considerando os preços por metro quadrado:
C=20\bigl(A_{\text{lat}}+A_{\text{fundo}}\bigr)+10\bigl(A_{\text{tampa}}\bigr).
Substituindo as áreas:
C=20\bigl(2\pi r h+\pi r^{2}\bigr)+10\bigl(\pi r^{2}\bigr).
Distribuindo e somando termos semelhantes:
C=40\pi r h+20\pi r^{2}+10\pi r^{2}=40\pi r h+30\pi r^{2}.
Comentário didático: aqui agrupamos o custo do fundo (20) com o da tampa (10) separadamente porque têm preços diferentes; por isso aparecem coeficientes diferentes no termo \pi r^{2}.

Passo 5

Eliminar h usando a restrição do volume e obter C como função de uma variável.\n
Substituindo \,h=\dfrac{1}{\pi r^{2}} em C:
C(r)=40\pi r\cdot\frac{1}{\pi r^{2}}+30\pi r^{2}.
Simplificando o primeiro termo ( \pi cancela e r/r^{2}=1/r):
C(r)=\frac{40}{r}+30\pi r^{2}.
Explicação: agora temos o custo apenas em função de \,r. A minimização fica mais simples porque é um problema de uma variável.

Passo 6

Encontrar o ponto crítico: derivada e equação para \,r.\n
Para minimizar C(r) calculamos a derivada e igualamos a zero. A derivada é
C'(r)=-40 r^{-2}+60\pi r.
Passo a passo do cálculo da derivada:
  • Derivada de 40/r é -40 r^{-2}.
  • Derivada de 30\pi r^{2} é 60\pi r.
    Agora igualamos a zero para achar pontos críticos:
-40 r^{-2}+60\pi r=0.
Multiplicando ambos os lados por r^{2} (válido pois r>0):
-40+60\pi r^{3}=0.
Isolando r^{3}:
60\pi r^{3}=40\quad\Longrightarrow\quad r^{3}=\frac{40}{60\pi}=\frac{2}{3\pi}.
Portanto
r=\left(\frac{2}{3\pi}\right)^{1/3}.
Comentário amigável: encontramos uma expressão exata para o raio ótimo; bate aquela sensação boa de ver uma raiz cúbica aparecer.

Passo 7

Confirmar que o ponto crítico é mínimo e obter h.\n
Primeiro, segunda derivada para testar mínimo:
C''(r)=80 r^{-3}+60\pi.
Como r>0, temos C''(r)>0, logo o ponto crítico é um mínimo (curva para cima). Então o valor de r encontrado minimiza o custo.\n
Agora encontramos h usando a relação do volume. Uma forma rápida é notar que
\frac{h}{r}=\frac{1}{\pi}r^{-3}.
Mas de r^{3}=\dfrac{2}{3\pi} segue r^{-3}=\dfrac{3\pi}{2}. Substituindo:
\frac{h}{r}=\frac{1}{\pi}\cdot\frac{3\pi}{2}=\frac{3}{2}.
Logo
h=\frac{3}{2}\,r.
Isso é bonito e útil: a altura ótima vale \tfrac{3}{2} vezes o raio ótimo. Usando r=\left(\dfrac{2}{3\pi}\right)^{1/3} obtemos
h=\frac{3}{2}\left(\frac{2}{3\pi}\right)^{1/3}.
Se quiser valores numéricos (aproximação):
r\approx 0,596\\ \text{m},\qquad h\approx 0,894\\ \text{m}.
Palavra de incentivo: ótimo! já temos a solução e sabemos que é um mínimo — missão cumprida.

Resposta

\displaystyle r=\left(\dfrac{2}{3\pi}\right)^{1/3}\approx0,596\\ \text{m}\n
\displaystyle h=\dfrac{3}{2}\left(\dfrac{2}{3\pi}\right)^{1/3}\approx0,894\\ \text{m}

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