Derive.
f(x)=\sqrt{x \operatorname{sec} \left(x^{2}+2\right)}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\sqrt{x\,\operatorname{sec}\bigl(x^{2}+2\bigr)}.
Para isso, vamos usar:
– A regra da cadeia para \sqrt{u}, que dá
\frac{d}{dx}\sqrt{u}=\frac{u'}{2\sqrt{u}},
– A regra do produto, e
– A derivada de \operatorname{sec} v, que é
\frac{d}{dv}\operatorname{sec} v=\operatorname{sec} v\tan v.

Passo 2

Primeiro escrevemos
f(x)=\bigl(x\,\operatorname{sec}(x^{2}+2)\bigr)^{\tfrac12}.
Aplicando a regra da cadeia, temos
f'(x) =\frac{1}{2}\bigl(x\,\operatorname{sec}(x^{2}+2)\bigr)^{-\tfrac12} \cdot\frac{d}{dx}\bigl[x\,\operatorname{sec}(x^{2}+2)\bigr].

Passo 3

Definindo
g(x)=x\,\operatorname{sec}(x^{2}+2),
usamos a regra do produto:
g'(x) =1\cdot\operatorname{sec}(x^{2}+2) + x\cdot\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{sec}(x^{2}+2)\bigr].
Como \frac{d}{dx}\operatorname{sec}(x^{2}+2)=\operatorname{sec}(x^{2}+2)\,\tan(x^{2}+2)\cdot 2x, vem
g'(x) =\operatorname{sec}(x^{2}+2) +2x^{2}\,\operatorname{sec}(x^{2}+2)\,\tan(x^{2}+2).

Passo 4

Substituindo g'(x) em f'(x):
f'(x) =\frac{1}{2}\bigl(x\,\operatorname{sec}(x^{2}+2)\bigr)^{-\tfrac12} \Bigl[\operatorname{sec}(x^{2}+2)+2x^{2}\operatorname{sec}(x^{2}+2)\tan(x^{2}+2)\Bigr].
Agrupando fatores em comum:
f'(x) =\frac{\operatorname{sec}(x^{2}+2)\,\bigl[1+2x^{2}\tan(x^{2}+2)\bigr]} {2\sqrt{x\,\operatorname{sec}(x^{2}+2)}}.

Resposta

f'(x) =\frac{\operatorname{sec}(x^{2}+2)\,\bigl[1+2x^{2}\tan(x^{2}+2)\bigr]} {2\sqrt{x\,\operatorname{sec}(x^{2}+2)}}.

Exercícios relacionados