Determine os limites a seguir, caso existam.
(i) lim x 0 sen(5 x)3 x
(ii) lim t 0 3 t^2+2 tsen t
(iii) lim x 0 tg(x)x
(iv) lim x 0 3 x^2tg^2(4 x)
(v) lim t 0 cos (2 t)-cos (3 t)t^2
(vi) lim x 0^+ 2 x^2+sen^2 xx^2
(vii) lim x 0 raizx sen(1x)
(viii) lim x 1(x-1) sen(1(1-x)^2)
(ix) lim t 1 sen(t-1)t^2+t-2

Passo 1

O enunciado pede calcular nove limites envolvendo funções trigonométricas e radicais ao se aproximar de 0 ou de 1. Vamos usar limites fundamentais como limuto0tfracsin uu=1, expansões de primeira ordem ( sin xapprox x, cos xapprox1-tfracx^22), fatoração e o teorema do aperto para funções limitadas.

Passo 2

Vamos identificar os casos em que basta usar sin xsim x e tan xsim x para xto0:
(i)
sin(5x)3x =sin uucdot53 com u=5x,
logo o limite é 1cdottfrac53=tfrac53
(iii)
limxto0tan xx=1
(iv)
3x^2tan^2(4x) =3x^2(4x)^2l(4xtan(4x)r)^2 xrightarrowxto03cdot116cdot1=316
(vi)
2x^2+sin^2xx^2 =2+l(sin xxr)^2 xrightarrowxto02+1=3
(ix)
sin(t-1)t^2+t-2 =sin(t-1)t-1cdot1t+2 xrightarrowtto11cdot13=13

Passo 3

No item (ii)
limtto03t^2+2tsin t,
escrevemos
3t^2+2tsin t =3t^2sin t+2tsin t =3ttsin t+2tsin t
Como limtto0tsin t=1, o primeiro termo vai a 3cdot0cdot1=0 e o segundo a 2cdot1=2. Logo o limite é 2.

Passo 4

Para (v)
limtto0cos(2t)-cos(3t)t^2,
usamos a identidade
cos A-cos B =-2sinl(A+B2r)sinl(A-B2r)
com A=2t, B=3t. O numerador vira
-2sinl(5t2r)sinl(-t2r) =2sinl(5t2r)sinl(t2r)
Logo
2sin(tfrac5t2)sin(tfract2)t^2 =2sin(tfrac5t2)tfrac5t2 sin(tfract2)tfract2 tfrac5t2,tfract2t^2 xrightarrowtto02cdot1cdot1cdot54 =52

Passo 5

Para (vii) e (viii) aplicamos o teorema do aperto, pois sin fica entre -1 e 1:
(vii)
raizxsinl(tfrac1xr):
-raizx<=raizxsin(tfrac1x)<=raizx e raizxto0,
logo o limite é 0.
(viii)
(x-1)sinl(tfrac1(1-x)^2r):
com h=x-1to0,
-|h|<= hsin(tfrac1h^2)<=|h| e hto0,
de onde o limite é 0.

Resposta

(i) tfrac53
(ii) 2
(iii) 1
(iv) tfrac316
(v) tfrac52
(vi) 3
(vii) 0
(viii) 0
(ix) tfrac13

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