Determine a derivada da função. Apresente os cálculos para resolução.
f(x)=ln (tg(x))

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=lnl(tan(x)r). O conteúdo principal é a regra da cadeia, pois temos a composição de g(u)=ln(u) com u(x)=tan(x). Vamos precisar também da derivada de ln(u) e da derivada de tan(x).

Passo 2

Seja g(u)=ln(u) e u(x)=tan(x). Então f(x)=gl(u(x)r). Pela regra da cadeia,
f'(x)=g'l(u(x)r)cdot u'(x)

Passo 3

Calculamos as derivadas elementares:
g'(u)=1u, u'(x)=ddxl(tan(x)r)=sec^2(x)
Substituindo em f'(x) obtemos
f'(x) =1u(x)cdot sec^2(x) =1tan(x)cdot sec^2(x)

Passo 4

Para simplificar sec^2(x)tan(x), note que tan(x)=dfracsin(x)cos(x) e sec^2(x)=dfrac1cos^2(x). Assim,
sec^2(x)tan(x) =1/cos^2(x)sin(x)/cos(x) =1cos^2(x)cdotcos(x)sin(x) =1sin(x),cos(x)

Resposta

f'(x) =sec^2(x)tan(x) =1sin(x),cos(x)

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