Determine as dimensões de um retângulo inscrito na elipse x^2a^2+y^2b^2=1, de área máxima, com dois de seus lados paralelos ao eixo x (e os outros dois paralelos ao eixo y).
Sugestão. Os quatro vértices do retângulo, todos pertencentes à elipse, serão pontos (x, y),(-x, y),(x,-y) e (-x,-y).
Resposta. O retângulo tem dimensões raiz2 a e raiz2 b.

Passo 1

O enunciado pede o retângulo de maior área inscrito na elipse
x^2a^2+y^2b^2=1
com lados paralelos aos eixos. Como os vértices são (pm x,pm y), precisamos maximizar a área em função de x e y sujeita à restrição dada pela equação da elipse. O conteúdo da matéria é otimização com restrição (podendo usar substituição ou multiplicadores de Lagrange).

Passo 2

A área do retângulo em função de x e y é
A(x,y)=basetimesa<ura=(2x),(2y)=4xy
Para reduzir a uma variável, usamos a equação da elipse para escrever y em termos de x. Da elipse segue
x^2a^2+y^2b^2=1 Longrightarrow y^2=b^2l(1-x^2a^2r),
e, escolhendo y>=0,
y = braiz1-x^2a^2

Passo 3

Substituindo em A(x,y), definimos
A(x)=4x,braiz1-x^2a^2 =4b,xraiz1-x^2a^2
Agora derivamos A(x) em relação a x e igualamos a zero para encontrar o ponto crítico:
A'(x) =4bl(raiz1-tfracx^2a^2 + xcdot12raiz1-tfracx^2a^2cdotl(-tfrac2xa^2r)r)=0

Passo 4

Simplificando A'(x)=0:
raiz1-x^2a^2 -x^2a^2,raiz1-tfracx^2a^2=0 Longrightarrow 1-x^2a^2=x^2a^2 Longrightarrow x^2=a^22 Longrightarrow x=araiz2
Esse valor corresponde a máximo (pode-se verificar A''<0 ou argumentar pelo contexto físico).

Passo 5

Substituindo x=tfracaraiz2 em y=braiz1-x^2/a^2 obtém-se
y = braiz1-(a/raiz2)^2a^2 = braiz1-12 = braiz2
Portanto os semilados do retângulo são x=tfracaraiz2 e y=tfracbraiz2.

Passo 6

As dimensões do retângulo são o dobro dos semilados:
largura=2x=2cdotaraiz2=raiz2,a, a<ura=2y=2cdotbraiz2=raiz2,b

Resposta

O retângulo de área máxima inscrito na elipse tem dimensões raiz2,a e raiz2,b.

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