Determine as dimensões de um retângulo inscrito na elipse
, de área máxima, com dois de seus lados paralelos ao eixo
(e os outros dois paralelos ao eixo y).
Sugestão. Os quatro vértices do retângulo, todos pertencentes à elipse, serão pontos
e
.
Resposta. O retângulo tem dimensões
e
.
Sugestão. Os quatro vértices do retângulo, todos pertencentes à elipse, serão pontos
Passo 1
O enunciado pede o retângulo de maior área inscrito na elipse
com lados paralelos aos eixos. Como os vértices são
, precisamos maximizar a área em função de
e
sujeita à restrição dada pela equação da elipse. O conteúdo da matéria é otimização com restrição (podendo usar substituição ou multiplicadores de Lagrange).
Passo 2
A área do retângulo em função de
e
é
Para reduzir a uma variável, usamos a equação da elipse para escrever
em termos de
. Da elipse segue
e, escolhendo
,
Passo 3
Substituindo em
, definimos
Agora derivamos
em relação a
e igualamos a zero para encontrar o ponto crítico:
Passo 4
Simplificando
:
Esse valor corresponde a máximo (pode-se verificar
ou argumentar pelo contexto físico).
Passo 5
Substituindo
em
obtém-se
Portanto os semilados do retângulo são
e
.
Passo 6
As dimensões do retângulo são o dobro dos semilados:
Resposta
O retângulo de área máxima inscrito na elipse tem dimensões
e
.