Calcule as integrais impróprias em intervalos ilimitados. Resolva os exercícios sem omitir nenhuma passagem em seus cálculos. Respostas sem resolução e/ou justificativa não serão consideradas. Data máxima de entrega: 29/05/2025 até 14:00 horas
integral-infty^infty 4 d xx^2+16

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral-infty^infty4,dxx^2+16
O conteúdo aqui é o de integrais impróprias em intervalos ilimitados. Vamos tratar o limite de integração indo de -infty a +infty e usar a antiderivada conhecida de integraldxx^2+a^2.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a integral como um limite de integrais com extremos simétricos:
I = integral-infty^infty4,dxx^2+16 = limRtoinftyintegral-R^R4,dxx^2+16
Agora encontramos a antiderivada. Lembrando que
integraldxx^2+a^2 = 1aarctan!l(xar),
aqui temos a^2=16, ou seja, a=4. Logo,
integral4,dxx^2+16 =4cdot14arctan!l(x4r) =arctan!l(x4r)

Passo 3

Aplicando essa antiderivada no limite, fica
I = limRtoinftyl[arctan!l(tfracR4r) -arctan!l(tfrac-R4r)r]
Como limuto+inftyarctan(u)=tfracpi2 e arctan é ímpar, temos
I = pi2 - l(-tfracpi2r) = pi

Resposta

pi

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