Determine a derivada da função
, só os pares (2 ao 18), utilizando as regras de derivação.
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada da função
dada por
Informações relevantes fornecidas:
- A função está escrita como uma fração com raiz no denominador.
- É esperado que a derivação seja feita aplicando regras usuais de derivação (sem cálculo numérico adicional).
A partir daqui vamos reescrever a função numa forma que facilite aplicar as regras e calcular a derivada passo a passo.
Passo 2
Reescrever a função usando potências (isso facilita o uso da regra da cadeia e da regra do expoente). Lembrando que
e, portanto,
. Assim:
Passo 3
Vou explicar a regra que vou usar: a regra da potência combinada com a regra da cadeia. A regra da potência para uma função composta diz que, se
então
Aqui
é a função interna (a parte que está elevada a
) e
é a derivada dessa função interna. A ideia é derivar a “casca” (o expoente) e multiplicar pela derivada do interior.
Passo 4
Identificar, no nosso caso, a função interna
e o expoente
. Temos:
Passo 5
Aplicar a fórmula da regra da potência + cadeia diretamente. Substituindo
e
em
obtemos por enquanto:
pois
.
Passo 6
Agora precisamos de
, a derivada de
. Usando a regra de derivação de potências (derivada de
é
) e propriedades de constantes:
Passo 7
Substituir
na expressão do Passo 5:
Passo 8
Fazer a simplificação algébrica do coeficiente
. Calculando:
Portanto a expressão fica
Passo 9
Reescrever a derivada na forma de fração para ficar mais familiar (tirando a potência negativa):
Passo 10
Verificação rápida de coerência (sanity check): a derivada tem fator
no numerador, então em
o sinal tende a ser negativo (se
), o que combina com a ideia de que
diminui para
positivos grandes — razoável. Isso não substitui a prova, mas ajuda a ver que o resultado faz sentido qualitativamente.
Passo 11
Anotar o domínio onde a derivada e a função estão definidas: para
original é necessário que
(não podemos ter raiz de número negativo nem divisão por zero). Assim
A derivada
está definida no mesmo conjunto:
tais que
.
Passo 12
Resumo final do desenvolvimento: aplicamos a regra da potência para funções compostas (regra da cadeia), calculamos a derivada do interior
, multiplicamos e simplificamos os coeficientes para obter a forma final da derivada.