Determine a derivada da função f, só os pares (2 ao 18), utilizando as regras de derivação.
f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 x^{2}-1}}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada da função f dada por
f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 x^{2}-1}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função está escrita como uma fração com raiz no denominador.
  • É esperado que a derivação seja feita aplicando regras usuais de derivação (sem cálculo numérico adicional).
    A partir daqui vamos reescrever a função numa forma que facilite aplicar as regras e calcular a derivada passo a passo.

Passo 2

Reescrever a função usando potências (isso facilita o uso da regra da cadeia e da regra do expoente). Lembrando que \sqrt{u}=u^{1/2} e, portanto, 1/\sqrt{u}=u^{-1/2}. Assim:
f(x)=\bigl(2x^{2}-1\bigr)^{-1/2}.

Passo 3

Vou explicar a regra que vou usar: a regra da potência combinada com a regra da cadeia. A regra da potência para uma função composta diz que, se
F(x)=\bigl(u(x)\bigr)^{n},
então
F'(x)=n\bigl(u(x)\bigr)^{n-1}\cdot u'(x).
Aqui u(x) é a função interna (a parte que está elevada a n) e u'(x) é a derivada dessa função interna. A ideia é derivar a “casca” (o expoente) e multiplicar pela derivada do interior.

Passo 4

Identificar, no nosso caso, a função interna u(x) e o expoente n. Temos:
u(x)=2x^{2}-1,\qquad n=-\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Aplicar a fórmula da regra da potência + cadeia diretamente. Substituindo n e u(x) em
f'(x)=n\bigl(u(x)\bigr)^{n-1}\cdot u'(x),
obtemos por enquanto:
f'(x)=-\tfrac{1}{2}\bigl(2x^{2}-1\bigr)^{-3/2}\cdot u'(x),
pois n-1=-\tfrac{1}{2}-1=-\tfrac{3}{2}.

Passo 6

Agora precisamos de u'(x), a derivada de u(x)=2x^{2}-1. Usando a regra de derivação de potências (derivada de x^{2} é 2x) e propriedades de constantes:
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2x^{2}-1\bigr)=2\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)-0=2\cdot(2x)=4x.

Passo 7

Substituir u'(x)=4x na expressão do Passo 5:
f'(x)=-\tfrac{1}{2}\bigl(2x^{2}-1\bigr)^{-3/2}\cdot(4x).

Passo 8

Fazer a simplificação algébrica do coeficiente -\tfrac{1}{2}\cdot 4x. Calculando:
-\tfrac{1}{2}\cdot 4x = -\frac{4x}{2} = -2x.
Portanto a expressão fica
f'(x)=-2x\bigl(2x^{2}-1\bigr)^{-3/2}.

Passo 9

Reescrever a derivada na forma de fração para ficar mais familiar (tirando a potência negativa):
f'(x)=-\frac{2x}{\bigl(2x^{2}-1\bigr)^{3/2}}.

Passo 10

Verificação rápida de coerência (sanity check): a derivada tem fator -2x no numerador, então em x>0 o sinal tende a ser negativo (se 2x^{2}-1>0), o que combina com a ideia de que f diminui para x positivos grandes — razoável. Isso não substitui a prova, mas ajuda a ver que o resultado faz sentido qualitativamente.

Passo 11

Anotar o domínio onde a derivada e a função estão definidas: para f(x) original é necessário que 2x^{2}-1>0 (não podemos ter raiz de número negativo nem divisão por zero). Assim
2x^{2}-1>0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}>\tfrac{1}{2}\quad\Longrightarrow\quad |x|>\tfrac{1}{\sqrt{2}}.
A derivada f'(x) está definida no mesmo conjunto: x tais que |x|>\tfrac{1}{\sqrt{2}}.

Passo 12

Resumo final do desenvolvimento: aplicamos a regra da potência para funções compostas (regra da cadeia), calculamos a derivada do interior u'(x)=4x, multiplicamos e simplificamos os coeficientes para obter a forma final da derivada.

Resposta

f'(x)=-\frac{2x}{\bigl(2x^{2}-1\bigr)^{3/2}}

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