Determine a derivada da função f(x)=5^arctg(sen x^2).

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=5^arctanl(sin(x^2)r)
e pede f'(x). O conteúdo é a derivada de uma exponencial de base constante cujo expoente é uma função composta, então vamos usar a regra de derivação de a^u(x) e a regra da cadeia para arctan e sin.

Passo 2

A regra para derivar f(x)=a^u(x) é
f'(x)=a^u(x)ln(a),u'(x)
Aqui a=5 e u(x)=arctanl(sin(x^2)r).

Passo 3

Precisamos de u'(x). Como
u(x)=arctanl(v(x)r), v(x)=sin(x^2),
temos
u'(x)=v'(x)1+v(x)^2
E
v'(x)=ddxsin(x^2)=cos(x^2)cdot2x
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u'(x)=2x,cos(x^2)1+sin^2(x^2)

Passo 4

Agora voltamos à derivada de f:
f'(x) =5^arctan(sin(x^2))ln(5),2x,cos(x^2)1+sin^2(x^2)

Resposta

f'(x) =2x,cos(x^2),ln(5)1+sin^2(x^2) ,5^arctanl(sin(x^2)r)

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