5.4D Usando um fator integrante do tipo I=exp (-integral g(y) d y), onde g(y)=1P[Py-Qx], determine a solução geral da edo não linear:
y^prime=3 x^2 yx^3+2 y^4

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y' = 3,x^2,yx^3 + 2,y^4
e pede para achar a solução geral usando um fator integrante do tipo
I(y) = expl(-integral g(y),dyr), onde g(y) = 1Pl(Py-Qxr)
O conteúdo aqui é transformar a EDO numa forma exata multiplicando por I(y).

Passo 2

Reescrevemos a EDO em forma diferencial
(x^3+2,y^4),dy ;-;3,x^2,y,dx = 0,
onde definimos
P(x,y) = -3,x^2,y, Q(x,y) = x^3 + 2,y^4

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais necessárias:
Py = partialpartial yl(-3,x^2,yr) = -3,x^2, Qx = partialpartial xl(x^3+2,y^4r) = 3,x^2
Logo
Py - Qx = -3,x^2 - 3,x^2 = -6,x^2
E assim
g(y) = 1Pl(Py-Qxr) = -6,x^2-3,x^2,y = 2y,
que depende só de y, permitindo o uso de I(y).

Passo 4

O fator integrante é
I(y) = expl(-integral g(y),dyr) = expl(-integral 2y,dyr) = expl(-2lnlvert yrvertr) = y^-2

Passo 5

Multiplicamos a equação original por y^-2:
y^-2l(-3,x^2,y,dxr) + y^-2l(x^3+2,y^4r),dy = 0
que simplifica para
underbracel(-3,x^2yr)P^*,dx ;+; underbracel(x^3y^-2+2,y^2r)Q^*,dy =0
Verificamos exatidão:
P^*y = 3,x^2y^2, Q^*x = 3,x^2,y^-2,
logo P^*y=Q^*x e a equação é exata.

Passo 6

Como é exata, existe Psi(x,y) tal que
Psix = P^* = -3,x^2y
Integramos em x:
Psi(x,y) = integral -3,x^2y,dx = -x^3y + h(y)

Passo 7

Para achar h(y), usamos Psiy=Q^*:
Psiy = partialpartial yl(-x^3y + h(y)r) = x^3y^2 + h'(y)
devendo ser igual a
Q^* = x^3y^-2 + 2,y^2
Comparando, vem
h'(y) = 2,y^2 Longrightarrow h(y) = 23,y^3

Passo 8

A função potencial é
Psi(x,y) = -x^3y + 23,y^3
e a solução geral implícita vem de Psi(x,y)=C, ou seja
-x^3y + 23,y^3 = C

Resposta

-x^3y + 23,y^3 = C,
onde C é constante arbitrária.

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