5.4D Usando um fator integrante do tipo
, onde
, determine a solução geral da edo não linear:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para achar a solução geral usando um fator integrante do tipo
O conteúdo aqui é transformar a EDO numa forma exata multiplicando por
.
Passo 2
Reescrevemos a EDO em forma diferencial
onde definimos
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais necessárias:
Logo
E assim
que depende só de
, permitindo o uso de
.
Passo 4
O fator integrante é
Passo 5
Multiplicamos a equação original por
:
que simplifica para
Verificamos exatidão:
logo
P^*y=Q^*x e a equação é exata.
Passo 6
Como é exata, existe
Psi(x,y) tal que
Integramos em
x :
Passo 7
Para achar
h(y) , usamos
Psiy=Q^* :
devendo ser igual a
Comparando, vem
Passo 8
A função potencial é
e a solução geral implícita vem de
Psi(x,y)=C , ou seja
Resposta
onde
C é constante arbitrária.