Determine:
lim x 0 e^x+e^-x-21-cos x

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos calcular
limxto0e^x+e^-x-21-cos x
Este é um limite do tipo tfrac00, então o conteúdo da matéria envolve limites e a regra de l’Hôpital para indeterminações.

Passo 2

Verificamos a indeterminação: no numerador temos
e^0+e^-0-2=1+1-2=0
e no denominador
1-cos0=1-1=0,
logo é tfrac00. Podemos aplicar a regra de l’Hôpital, que permite derivar numerador e denominador até eliminar a forma indeterminada.

Passo 3

Derivando uma vez, o numerador vira
ddxl(e^x+e^-x-2r)=e^x-e^-x
e o denominador
ddx(1-cos x)=sin x
Assim o limite passa a ser
limxto0e^x-e^-xsin x,
que ainda é tfrac00 pois e^0-e^-0=0 e sin0=0. Então aplicamos l’Hôpital de novo.

Passo 4

Derivando pela segunda vez, o numerador fica
ddx(e^x-e^-x)=e^x+e^-x
e o denominador
ddx(sin x)=cos x
Portanto o limite é
limxto0e^x+e^-xcos x =e^0+e^0cos0 =1+11 =2

Resposta

2

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