Determine a derivada da função f(x)=cos [tg raizcos x].

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=cosl(tgraizcos xr)
O conteúdo principal aqui é a aplicação sucessiva da regra da cadeia em uma composição de quatro funções: xmapstocos x, umapstoraizu, vmapstotg v e wmapstocos w.

Passo 2

Identificamos as camadas de fora para dentro:
(i) f(w)=cos w com w=tgraizcos x.
(ii) w(v)=tg v com v=raizcos x.
(iii) v(u)=raizu=(u)^1/2 com u=cos x.
(iv) u(x)=cos x.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia na camada externa f(w)=cos w, temos
dfdx =-sinl(tgraizcos xr),ddxl[tgraizcos xr]

Passo 4

Agora derivamos tg v em relação a v:
ddv(tg v)=sec^2 v,
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ddxl[tgraizcos xr] =sec^2l(raizcos xr),ddxl[raizcos xr]

Passo 5

Derivamos v(u)=u^1/2 com u=cos x:
ddu(u^1/2)=12,u^-1/2, dudx=ddx(cos x)=-sin x
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ddxl[raizcos xr] =12,(cos x)^-1/2,(-sin x) =-sin x2raizcos x

Passo 6

Juntando tudo:
f'(x) =-sinl(tgraizcos xr),sec^2l(raizcos xr) l(-sin x2raizcos xr)
Os sinais negativos se cancelam, dando:

Passo 7

f'(x) =sin x2raizcos x;sinl(tgraizcos xr);sec^2l(raizcos xr)

Resposta

f'(x) =sin x2raizcos x;sin!l(tgraizcos xr);sec^2!l(raizcos xr)

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