Exercício 1. (Apostol seção 1.5 exercícios (1,5,8,9,12,14,17,25) )
Para os itens a) até g), considere os seguintes subconjuntos das funções (f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}) com a operação de soma entre funções e multiplicação por escalar definidas de maneira usual. Quais dos conjuntos abaixo são espaços vetoriais?
Conjunto das funções tais que: (f(x)=f(-x), \forall x \in \mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial ambiental F como o conjunto de todas as funções f:RtoR com soma e multiplicação por escalar usuais, e o subconjunto
E = ,fin F mid f(x)=f(-x);para todo xinR
das funções pares. Para mostrar que E é um espaço vetorial (subespaço de F), vamos verificar três propriedades:
  1. Contém a função zero;
  2. Fechamento em relação à soma;
  3. Fechamento em relação à multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que a função zero ;f0(x)=0 para todo x pertence a E, pois
f0(x)=0=f0(-x)forall,xinR

Passo 3

Fechamento sob soma: sejam f,gin E. Então, para todo x,
(f+g)(x)=f(x)+g(x)
e como f e g são pares, f(x)=f(-x) e g(x)=g(-x). Logo
(f+g)(x)=f(-x)+g(-x)=(f+g)(-x),
ou seja, f+gin E.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação por escalar: seja alphainR e fin E. Então
(alpha f)(x)=alpha,f(x)
e, como f(x)=f(-x), segue
(alpha f)(x)=alpha,f(-x)=(alpha f)(-x),
portanto alpha fin E.

Resposta

O conjunto das funções pares f:RtoRmid f(x)=f(-x) é um espaço vetorial (subespaço de F).

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