Exercício 1. (Apostol seção 1.5 exercícios (1,5,8,9,12,14,17,25) )
Para os itens a) até g), considere os seguintes subconjuntos das funções (f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}) com a operação de soma entre funções e multiplicação por escalar definidas de maneira usual. Quais dos conjuntos abaixo são espaços vetoriais?
Conjunto das funções tais que: (f(x)=f(-x), \forall x \in \mathbb{R}).
Para os itens a) até g), considere os seguintes subconjuntos das funções (f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}) com a operação de soma entre funções e multiplicação por escalar definidas de maneira usual. Quais dos conjuntos abaixo são espaços vetoriais?
Conjunto das funções tais que: (f(x)=f(-x), \forall x \in \mathbb{R}).
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial ambiental
como o conjunto de todas as funções
com soma e multiplicação por escalar usuais, e o subconjunto
das funções pares. Para mostrar que
é um espaço vetorial (subespaço de
), vamos verificar três propriedades:
- Contém a função zero;
- Fechamento em relação à soma;
- Fechamento em relação à multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos que a função zero
para todo
pertence a
, pois
Passo 3
Fechamento sob soma: sejam
. Então, para todo
,
e como
e
são pares,
e
. Logo
ou seja,
.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação por escalar: seja
e
. Então
e, como
, segue
portanto
.
Resposta
O conjunto das funções pares
é um espaço vetorial (subespaço de
).