Determine a derivada da função g(x) = e^1-x^2 e a taxa de variação no ponto (1,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função $ g(x) = e^{1 - x^{2}} $ e depois calcular a taxa de variação nesse ponto específico, que é $ (1, 0) $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, mais exatamente a regra da cadeia para derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função $ g(x) = e^{1 - x^{2}} $. A função é uma exponencial com um expoente que também depende de $ x $. Nesse caso, usamos a regra da cadeia, que serve para derivar funções compostas.

Passo 3

A regra da cadeia diz que se temos uma função composta $ f(g(x)) $, a derivada dela é $ f’(g(x)) \cdot g’(x) $. No nosso caso, $ f(u) = e^{u} $ e $ u = 1 - x^{2} $.

Passo 4

Vamos derivar $ f(u) = e^{u} $. A derivada de $ e^{u} $ em relação a $ u $ é $ e^{u} $.

Passo 5

Agora, derivamos $ u = 1 - x^{2} $. A derivada de $ 1 $ é $ 0 $ e a derivada de $ -x^{2} $ é $ -2x $.

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia, a derivada de $ g(x) $ é:
g(x)

Passo 7

Agora, vamos calcular a taxa de variação no ponto $ x = 1 $. Basta substituir $ x = 1 $ na derivada que encontramos.
x = 1

Resposta

A derivada da função é $ g’(x) = -2x \cdot e^{1 - x^{2}} $ e a taxa de variação no ponto $ (1, 0) $ é $ -2 $.

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