Determine a derivada da função
e a taxa de variação no ponto (1,0).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função $ g(x) = e^{1 - x^{2}} $ e depois calcular a taxa de variação nesse ponto específico, que é $ (1, 0) $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, mais exatamente a regra da cadeia para derivar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função $ g(x) = e^{1 - x^{2}} $. A função é uma exponencial com um expoente que também depende de $ x $. Nesse caso, usamos a regra da cadeia, que serve para derivar funções compostas.
Passo 3
A regra da cadeia diz que se temos uma função composta $ f(g(x)) $, a derivada dela é $ f’(g(x)) \cdot g’(x) $. No nosso caso, $ f(u) = e^{u} $ e $ u = 1 - x^{2} $.
Passo 4
Vamos derivar $ f(u) = e^{u} $. A derivada de $ e^{u} $ em relação a $ u $ é $ e^{u} $.
Passo 5
Agora, derivamos $ u = 1 - x^{2} $. A derivada de $ 1 $ é $ 0 $ e a derivada de $ -x^{2} $ é $ -2x $.
Passo 6
Aplicando a regra da cadeia, a derivada de $ g(x) $ é:
Passo 7
Agora, vamos calcular a taxa de variação no ponto $ x = 1 $. Basta substituir $ x = 1 $ na derivada que encontramos.
Resposta
A derivada da função é $ g’(x) = -2x \cdot e^{1 - x^{2}} $ e a taxa de variação no ponto $ (1, 0) $ é $ -2 $.