Em t=0 dois carros se encontram na intersecção de duas estradas retas, com velocidades constantes v1 e v2, que formam um ângulo theta. Qual é a distância entre os carros t horas depois deles passarem pelo cruzamento?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem aqui um problema de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento. A situação é a seguinte: dois carros estão na mesma interseção de estradas, no tempo t=0. Cada carro tem uma velocidade constante, representada por v1 e v2, e essas velocidades formam um ângulo theta entre si. A pergunta é: qual a distância entre os dois carros depois de t horas de partirem dessa interseção? Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a distância entre dois pontos que estão se movendo em direções diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar nas posições dos carros após t horas. Se um carro tem velocidade v1, ele vai percorrer uma distância de v1 cdot t nessa direção. Da mesma forma, o outro carro vai percorrer uma distância de v2 cdot t na direção da sua velocidade.

Passo 3

Agora, para encontrar a distância entre os dois carros após esse tempo, precisamos calcular a distância entre os dois pontos finais dessas trajetórias. Como as direções das velocidades formam um ângulo theta, podemos usar a Lei dos Cossenos para calcular essa distância.

Passo 4

A Lei dos Cossenos nos diz que, em qualquer triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados menos duas vezes o produto desses lados pelo cosseno do ângulo entre eles. Aplicando isso ao nosso caso:
d^2 = (v1 cdot t)^2 + (v2 cdot t)^2 - 2 cdot (v1 cdot t) cdot (v2 cdot t) cdot cos theta

Passo 5

Simplificando a expressão acima, podemos fatorar t^2:
d^2 = t^2 ( v1^2 + v2^2 - 2 v1 v2 cos theta )

Passo 6

Para encontrar a distância d, basta tirar a raiz quadrada de ambos os lados:
d = t cdot raizv1^2 + v2^2 - 2 v1 v2 cos theta

Resposta

A distância entre os dois carros após t horas é:
d = t cdot raizv1^2 + v2^2 - 2 v1 v2 cos theta

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