O domínio é \mathbb{R}\] (todos os números reais).
- A pergunta consiste em: (i) achar \(f'(x) para os pontos onde ela existe; (ii) analisar especificamente o ponto x=0.]
Passo 2
Lembrete sobre definição de derivada (a ferramenta que vamos usar): para uma função f e um ponto a, a derivada f'(a) é o limite (se existir)
f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Também usamos as derivadas laterais:
\text{derivada à direita: }\quad \lim_{h\to 0^{+}}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},à
\text{derivada à esquerda: }\quad \lim_{h\to 0^{-}}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.à
Para que f'(a) exista é necessário e suficiente que as duas derivadas laterais existam e sejam iguais. Intuição: a derivada é o coeficiente angular da reta tangente; se ao aproximar-se de a por valores à direita e à esquerda a inclinação for diferente, não existe uma única reta tangente.
Passo 3
Derivada para x>0.
Para x>0 temos f(x)=x. Aplicando a definição (ou lembrando que a derivada de x é 1):
Explicação passo a passo: no numerador f(x+h)-f(x)=(x+h)-x=h. Dividindo por h dá 1 para todo h\neq 0, então o limite quando h\to0 é 1. Portanto em qualquer ponto x>0 a derivada existe e vale 1.
Detalhe: no numerador f(x+h)-f(x)=-(x+h)-(-x)=-h. Dividindo por h dá -1 para todo h\neq 0, então o limite é -1. Logo em qualquer ponto x<0 a derivada existe e vale -1.
Dica prática para a prova: quando a função é definida por partes (como valor absoluto), deriva-se cada ramo separadamente e depois verifica-se os pontos de fronteira entre os ramos.]
Como a derivada à direita vale 1 e a derivada à esquerda vale -1, elas são diferentes. Portanto o limite \lim_{h\to 0}\frac{|h|-0}{h} não existe, e assim f'(0) não existe.
Passo 7
Interpretação geométrica e observações finais (motivação para lembrar na prova).
Geometricamente o gráfico de f(x)=|x| é duas retas: uma com inclinação -1 para x<0 e outra com inclinação 1 para x>0. Em x=0 há um “vértice” ou “canto”: a reta tangente à esquerda tem inclinação -1 e a reta tangente à direita tem inclinação 1. Como não há uma única inclinação bem definida em 0, não existe reta tangente única — por isso a derivada não existe em 0.
Regra prática para exercícios semelhantes: reescrever o valor absoluto como peça a peça, derivar em cada intervalo aberto onde a expressão é simples, e então verificar limites laterais nos pontos onde a expressão muda (aqui x=0). Força aí — essa estratégia resolve a maioria das questões de valor absoluto na prova.