8.3. Determine a derivada da função [f(x)=|x|) e explique o que ocorre em x=0.

Solução. Podemos escrever
|x|= \begin{cases}-x, & x<0 \\\\ 0, & x=0 \\\ x, & x>0\end{cases}
Para x>0\], temos \(f(x)=x, portanto
f^{\prime}(x)=1 \text {. }
Para x<0, temos f(x)=-x, portanto
f^{\prime}(x)=-1
Em x=0, analisamos as derivadas laterais:
\begin{gathered} \lim _{h \rightarrow 0^{+}} \frac{|h|-|0|}{h}=\lim _{h \rightarrow 0^{+}} \frac{h}{h}=1, \\\ \lim _{h \rightarrow 0^{-}} \frac{|h|-|0|}{h}=\lim _{h \rightarrow 0^{-}} \frac{-h}{h}=-1 . \end{gathered}
Como as derivadas laterais são diferentes, a derivada não existe em x=0. Assim,
f^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{ll} -1, & x<0, \\\\ 1, & x>0, \end{array} \quad \text { e } f^{\prime}(0)\right. \text { não existe. }ã
Geometricamente, o gráfico de |x| tem uma ponta em x=0.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada da função [f(x)=|x|) e explicar o que ocorre em x=0.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A função valor absoluto pode ser escrita peça a peça como
|x|= \begin{cases}-x, & x<0, \\[4pt] 0, & x=0, \\[4pt] x, & x>0.\end{cases}
  • O domínio é \mathbb{R}\] (todos os números reais). - A pergunta consiste em: (i) achar \(f'(x) para os pontos onde ela existe; (ii) analisar especificamente o ponto x=0.]

Passo 2

Lembrete sobre definição de derivada (a ferramenta que vamos usar): para uma função f e um ponto a, a derivada f'(a) é o limite (se existir)
f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Também usamos as derivadas laterais:
\text{derivada à direita: }\quad \lim_{h\to 0^{+}}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},à
\text{derivada à esquerda: }\quad \lim_{h\to 0^{-}}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.à
Para que f'(a) exista é necessário e suficiente que as duas derivadas laterais existam e sejam iguais. Intuição: a derivada é o coeficiente angular da reta tangente; se ao aproximar-se de a por valores à direita e à esquerda a inclinação for diferente, não existe uma única reta tangente.

Passo 3

Derivada para x>0.
Para x>0 temos f(x)=x. Aplicando a definição (ou lembrando que a derivada de x é 1):
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)-x}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{h}{h}=1.
Explicação passo a passo: no numerador f(x+h)-f(x)=(x+h)-x=h. Dividindo por h 1 para todo h\neq 0, então o limite quando h\to0 é 1. Portanto em qualquer ponto x>0 a derivada existe e vale 1.

Passo 4

Derivada para x<0.
Para x<0 temos f(x)=-x. Aplicando a definição:
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{-(x+h)-(-x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{-h}{h}=-1.
Detalhe: no numerador f(x+h)-f(x)=-(x+h)-(-x)=-h. Dividindo por h -1 para todo h\neq 0, então o limite é -1. Logo em qualquer ponto x<0 a derivada existe e vale -1.

Passo 5

Resumo para x\neq 0.
Das Passo 3 e Passo 4 obtemos que, para x\neq 0,
f'(x)=\begin{cases} -1, & x<0, \\[4pt] 1, & x>0. \end{cases}
Dica prática para a prova: quando a função é definida por partes (como valor absoluto), deriva-se cada ramo separadamente e depois verifica-se os pontos de fronteira entre os ramos.]

Passo 6

Análise em x=0 — derivadas laterais.
Calcule a derivada à direita em 0:
\lim_{h\to 0^{+}}\frac{|0+h|-|0|}{h}=\lim_{h\to 0^{+}}\frac{|h|}{h}=\lim_{h\to 0^{+}}\frac{h}{h}=1.
Calcule a derivada à esquerda em 0:
\lim_{h\to 0^{-}}\frac{|0+h|-|0|}{h}=\lim_{h\to 0^{-}}\frac{|h|}{h}=\lim_{h\to 0^{-}}\frac{-h}{h}=-1.
Como a derivada à direita vale 1 e a derivada à esquerda vale -1, elas são diferentes. Portanto o limite \lim_{h\to 0}\frac{|h|-0}{h} não existe, e assim f'(0) não existe.

Passo 7

Interpretação geométrica e observações finais (motivação para lembrar na prova).
Geometricamente o gráfico de f(x)=|x| é duas retas: uma com inclinação -1 para x<0 e outra com inclinação 1 para x>0. Em x=0 há um “vértice” ou “canto”: a reta tangente à esquerda tem inclinação -1 e a reta tangente à direita tem inclinação 1. Como não há uma única inclinação bem definida em 0, não existe reta tangente única — por isso a derivada não existe em 0.
Regra prática para exercícios semelhantes: reescrever o valor absoluto como peça a peça, derivar em cada intervalo aberto onde a expressão é simples, e então verificar limites laterais nos pontos onde a expressão muda (aqui x=0). Força aí — essa estratégia resolve a maioria das questões de valor absoluto na prova.

Resposta

f'(x)=\begin{cases} -1, & x<0,\\[4pt] 1, & x>0, \end{cases} \qquad f'(0)\\ \text{não existe.}ã]

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