8.5. Determine a função derivada e o domínio da derivada de

f(x)=\sqrt{x-1}
Solução. A função está definida quando
x-1 \geq 0 \quad \Longrightarrow \quad x \geq 1 \text {. }
Logo,
D_{f}=[1, \infty)
Para x>1, podemos escrever
f(x)=(x-1)^{1 / 2}
Usando a regra da potência com a regra da cadeia:
f^{\prime}(x)=\frac{1}{2}(x-1)^{-1 / 2}=\frac{1}{2 \sqrt{x-1}}
Essa expressão só está definida para x>1. Em x=1, o quociente de diferenças é
\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{\sqrt{h}-0}{h}=\frac{1}{\sqrt{h}}, \quad h>0,
que tende a +\infty quando h \rightarrow 0^{+}. Portanto, a derivada não existe em x=1 como número real finito.
Assim,
f^{\prime}(x)=\frac{1}{2 \sqrt{x-1}}, \quad x>1
O domínio da derivada é
D_{f^{\prime}}=(1, \infty) .

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\sqrt{x-1}
e pede duas coisas: (i) determinar a função derivada f'(x) e (ii) determinar o domínio da derivada D_{f'}.
Informações relevantes extraídas do enunciado: a função envolve uma raiz quadrada, então seus argumentos devem permitir números reais (ou seja, o que estiver dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero). Nada mais é dado explicitamente.

Passo 2

Primeiro vamos identificar o domínio natural da função (isto é, onde f está definida), pois isso condiciona onde podemos falar sobre derivada. A raiz quadrada \sqrt{\;} exige que o conteúdo seja não negativo. Então precisamos de
x-1 \ge 0.
Resolver isso é simples: somando 1 em ambos os lados vem
x \ge 1.
Portanto o domínio da função é
D_f = [1,\infty).
Esse é um passo importante: não faz sentido perguntar pela derivada em pontos fora de D_f.

Passo 3

Agora escolhemos um método para obter f'(x) para pontos onde a função está definida interiormente ao domínio. A forma mais direta é reescrever a função como uma potência e usar a regra da potência combinada com a regra da cadeia. Escrevemos
f(x)=(x-1)^{1/2}.
Vou explicar as regras que vou aplicar:
  • Regra da potência (versão para função composta): se g(x)=u(x)^n, onde u(x) é uma função diferenciável e n é um número real, então
g'(x)=n\,u(x)^{\,n-1}\cdot u'(x).
Aqui u(x) é a “parte interna” e u'(x) é a derivada dessa parte. Essa fórmula é a combinação da regra da potência com a regra da cadeia (a regra da cadeia diz que derivada de u(v(x)) é u'(v(x))\cdot v'(x)).
No nosso caso tomamos u(x)=x-1 e n=\tfrac12. A derivada de u(x) é u'(x)=1 (derivada de x-1 é 1). Aplicando a fórmula:
f'(x)=\frac{1}{2}(x-1)^{\frac{1}{2}-1}\cdot 1.

Passo 4

Simplificando a potência:
\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2},
então
f'(x)=\frac{1}{2}(x-1)^{-1/2}.
Convertendo para uma forma mais familiar com raiz:
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}.
Isso é válido sempre que a expressão esteja bem definida (veremos o domínio da derivada em seguida). Aqui cada escolha foi: n=\tfrac12, u(x)=x-1, u'(x)=1. A simplificação de (x-1)^{-1/2} para 1/\sqrt{x-1} é só a regra das potências com expoente negativo.

Passo 5

Precisamos agora discutir onde essa expressão é válida. A fórmula \dfrac{1}{2\sqrt{x-1}} exige que \sqrt{x-1} seja bem definida e não nula no denominador. Sabemos que \sqrt{x-1} está definida para x\ge1, mas se x=1 então \sqrt{x-1}=0 e o denominador seria zero. Portanto essa expressão só está definida para
x>1.
Logo a expressão encontrada para f'(x) só pode valer para x>1. Resta verificar o comportamento exatamente em x=1: a derivada existe lá?

Passo 6

Verificação direta da derivada em x=1 usando o quociente de diferenças (definição) — passo importante porque x=1 é extremidade do domínio e não podemos usar fórmulas que envolvam divisão por zero.
A definição da derivada em x=1 (quando existe) é o limite
\lim_{h\to0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}.
Mas atenção: f só está definida para argumentos \ge1. Para h<0 suficientemente pequeno 1+h<1 e f(1+h) não existe; portanto só podemos considerar o limite pelo lado direito (isto é, h\to0^+). Calculando para h>0:
\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{\sqrt{(1+h)-1}-\sqrt{1-1}}{h}=\frac{\sqrt{h}-0}{h}=\frac{1}{\sqrt{h}}.
Quando h\to0^+ temos \dfrac{1}{\sqrt{h}}\to +\infty. Isso significa que não existe um número real finito que seja a derivada em x=1; o quociente de diferenças explode para +\infty. Portanto f NÃO é diferenciável em x=1.

Passo 7

Como checagem alternativa — útil para a prova: para x>1 pode-se também obter f'(x) a partir da definição e da racionalização, mostrando que o limite do quociente de diferenças realmente dá \dfrac{1}{2\sqrt{x-1}}. Para ver isso rapidamente, para x>1 e h pequeno tal que x+h>1,
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\sqrt{x+h-1}-\sqrt{x-1}}{h}.
Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{x+h-1}+\sqrt{x-1} obtemos
\frac{(\sqrt{x+h-1}-\sqrt{x-1})(\sqrt{x+h-1}+\sqrt{x-1})}{h(\sqrt{x+h-1}+\sqrt{x-1})} =\frac{(x+h-1)-(x-1)}{h(\sqrt{x+h-1}+\sqrt{x-1})} =\frac{1}{\sqrt{x+h-1}+\sqrt{x-1}}.
Fazendo h\to0 o denominador tende a 2\sqrt{x-1}, logo o limite é \dfrac{1}{2\sqrt{x-1}}, confirmando a fórmula da regra da cadeia/potência.

Resposta

f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x-1}},\quad x>1
D_{f'}=(1,\infty)

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