8.5. Determine a função derivada e o domínio da derivada de
Solução. A função está definida quando
Logo,
Para
, podemos escrever
Usando a regra da potência com a regra da cadeia:
Essa expressão só está definida para
. Em
, o quociente de diferenças é
que tende a
quando
. Portanto, a derivada não existe em
como número real finito.
Assim,
O domínio da derivada é
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas: (i) determinar a função derivada
e (ii) determinar o domínio da derivada
.
Informações relevantes extraídas do enunciado: a função envolve uma raiz quadrada, então seus argumentos devem permitir números reais (ou seja, o que estiver dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero). Nada mais é dado explicitamente.
Informações relevantes extraídas do enunciado: a função envolve uma raiz quadrada, então seus argumentos devem permitir números reais (ou seja, o que estiver dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero). Nada mais é dado explicitamente.
Passo 2
Primeiro vamos identificar o domínio natural da função (isto é, onde
está definida), pois isso condiciona onde podemos falar sobre derivada. A raiz quadrada
exige que o conteúdo seja não negativo. Então precisamos de
Resolver isso é simples: somando
em ambos os lados vem
Portanto o domínio da função é
Esse é um passo importante: não faz sentido perguntar pela derivada em pontos fora de
.
Passo 3
Agora escolhemos um método para obter
para pontos onde a função está definida interiormente ao domínio. A forma mais direta é reescrever a função como uma potência e usar a regra da potência combinada com a regra da cadeia. Escrevemos
Vou explicar as regras que vou aplicar:
- Regra da potência (versão para função composta): se
, onde é uma função diferenciável e é um número real, então
Aqui
é a “parte interna” e
é a derivada dessa parte. Essa fórmula é a combinação da regra da potência com a regra da cadeia (a regra da cadeia diz que derivada de
é
).
No nosso caso tomamos
e
. A derivada de
é
(derivada de
é
). Aplicando a fórmula:
Passo 4
Simplificando a potência:
então
Convertendo para uma forma mais familiar com raiz:
Isso é válido sempre que a expressão esteja bem definida (veremos o domínio da derivada em seguida). Aqui cada escolha foi:
,
,
. A simplificação de
para
é só a regra das potências com expoente negativo.
Passo 5
Precisamos agora discutir onde essa expressão é válida. A fórmula
exige que
seja bem definida e não nula no denominador. Sabemos que
está definida para
, mas se
então
e o denominador seria zero. Portanto essa expressão só está definida para
Logo a expressão encontrada para
só pode valer para
. Resta verificar o comportamento exatamente em
: a derivada existe lá?
Passo 6
Verificação direta da derivada em
usando o quociente de diferenças (definição) — passo importante porque
é extremidade do domínio e não podemos usar fórmulas que envolvam divisão por zero.
A definição da derivada em
(quando existe) é o limite
Mas atenção:
só está definida para argumentos
. Para
suficientemente pequeno
e
não existe; portanto só podemos considerar o limite pelo lado direito (isto é,
). Calculando para
:
Quando
temos
. Isso significa que não existe um número real finito que seja a derivada em
; o quociente de diferenças explode para
. Portanto
NÃO é diferenciável em
.
Passo 7
Como checagem alternativa — útil para a prova: para
pode-se também obter
a partir da definição e da racionalização, mostrando que o limite do quociente de diferenças realmente dá
. Para ver isso rapidamente, para
e
pequeno tal que
,
Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado
obtemos
Fazendo
o denominador tende a
, logo o limite é
, confirmando a fórmula da regra da cadeia/potência.