Determine a derivada da função pelas regras de derivação:
Passo 1
O enunciado dá a função e pede a sua derivada:
Informações relevantes que temos:
- Há um fator constante
multiplicando toda a expressão. - A parte interna (vou chamar de
) é . - A parte externa é elevar
à quinta potência: .
A tarefa é encontrar, a derivada de em função de .
Passo 2
Vou explicar as regras que vou usar (sem assumir que você já sabe):
- Regra da constante fatorada: a derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada da função. Em símbolos:
onde
é constante e
é função de
.
- Regra da cadeia para potência (versão prática): se
com constante, então
Aqui
é a derivada da função interna
. A intuição: derivar a potência externa e multiplicar pela derivada da parte de dentro.
- Regra de derivação de potências simples (regra do expoente): para qualquer número real
,
E se tiver uma constante multiplicando, por exemplo
, então
Vou aplicar essas regras passo a passo.
Passo 3
Primeiro, uso a regra da constante fatorada para pôr
fora da derivada:
logo
Agora calculo
usando a regra da cadeia com
e
:
Falta
. Derivo
termo a termo:
- Para
: aplicar e multiplicar por , obtém-se . - Para
: aplicar e multiplicar por , obtém-se .
Portanto
Substituindo em
:
Agora volto para
:
Passo 4
Faço uma simplificação das constantes:
. Assim uma forma limpa da derivada é
Se quiser compactar ainda mais, podemos fatorar
de
e combinar com
:
então
Ambas as formas estão corretas; use a que achar mais clara na prova.