Determine a derivada da função pelas regras de derivação:
f(x)=\frac{1}{3}\left(2 x^{5}+6 x^{-3}\right)^{5}

Passo 1

O enunciado dá a função e pede a sua derivada:
f(x)=\frac{1}{3}\left(2 x^{5}+6 x^{-3}\right)^{5}.
Informações relevantes que temos:
  • Há um fator constante \frac{1}{3} multiplicando toda a expressão.
  • A parte interna (vou chamar de u(x)) é u(x)=2 x^{5}+6 x^{-3}.
  • A parte externa é elevar u(x) à quinta potência: (u(x))^{5}.
    A tarefa é encontrar f'(x), a derivada de f em função de x.

Passo 2

Vou explicar as regras que vou usar (sem assumir que você já sabe):
  1. Regra da constante fatorada: a derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada da função. Em símbolos:
\frac{d}{dx}\big[c\cdot g(x)\big]=c\cdot g'(x),
onde c é constante e g é função de x.
  1. Regra da cadeia para potência (versão prática): se h(x)=\big(u(x)\big)^{n} com n constante, então
h'(x)=n\big(u(x)\big)^{n-1}\cdot u'(x).
Aqui u'(x) é a derivada da função interna u(x). A intuição: derivar a potência externa e multiplicar pela derivada da parte de dentro.
  1. Regra de derivação de potências simples (regra do expoente): para qualquer número real k,
\frac{d}{dx}\big(x^{k}\big)=k\,x^{k-1}.
E se tiver uma constante multiplicando, por exemplo a\,x^{k}, então
\frac{d}{dx}\big(a\,x^{k}\big)=a\cdot k\,x^{k-1}.
Vou aplicar essas regras passo a passo.

Passo 3

Primeiro, uso a regra da constante fatorada para pôr \tfrac{1}{3} fora da derivada:
f(x)=\frac{1}{3}\,h(x),\quad\text{com}\quad h(x)=\big(2 x^{5}+6 x^{-3}\big)^{5},
logo
f'(x)=\frac{1}{3}\,h'(x).
Agora calculo h'(x) usando a regra da cadeia com u(x)=2 x^{5}+6 x^{-3} e n=5:
h'(x)=5\big(u(x)\big)^{4}\cdot u'(x)=5\big(2 x^{5}+6 x^{-3}\big)^{4}\cdot u'(x).
Falta u'(x). Derivo u(x)=2 x^{5}+6 x^{-3} termo a termo:
  • Para 2 x^{5}: aplicar \frac{d}{dx}(x^{5})=5x^{4} e multiplicar por 2, obtém-se 2\cdot5x^{4}=10x^{4}.
  • Para 6 x^{-3}: aplicar \frac{d}{dx}(x^{-3})=-3x^{-4} e multiplicar por 6, obtém-se 6\cdot(-3)x^{-4}=-18x^{-4}.
Portanto
u'(x)=10x^{4}-18x^{-4}.
Substituindo em h'(x):
h'(x)=5\big(2 x^{5}+6 x^{-3}\big)^{4}\big(10x^{4}-18x^{-4}\big).
Agora volto para f'(x)=\tfrac{1}{3}h'(x):
f'(x)=\frac{1}{3}\cdot 5\big(2 x^{5}+6 x^{-3}\big)^{4}\big(10x^{4}-18x^{-4}\big).

Passo 4

Faço uma simplificação das constantes: \tfrac{1}{3}\cdot 5=\tfrac{5}{3}. Assim uma forma limpa da derivada é
f'(x)=\frac{5}{3}\big(2 x^{5}+6 x^{-3}\big)^{4}\big(10x^{4}-18x^{-4}\big).
Se quiser compactar ainda mais, podemos fatorar 2 de 10x^{4}-18x^{-4} e combinar com \tfrac{5}{3}:
10x^{4}-18x^{-4}=2\big(5x^{4}-9x^{-4}\big),
então
f'(x)=\frac{10}{3}\big(2 x^{5}+6 x^{-3}\big)^{4}\big(5x^{4}-9x^{-4}\big).
Ambas as formas estão corretas; use a que achar mais clara na prova.

Resposta

\displaystyle f'(x)=\frac{5}{3}\big(2 x^{5}+6 x^{-3}\big)^{4}\big(10x^{4}-18x^{-4}\big)

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