Determine a derivada da função pelas regras de derivação:
f(x)=\ln \left(x^{6}-1\right)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\ln\!\left(x^{6}-1\right) e pede para determinar a derivada f'(x).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função está escrita como um logaritmo natural de uma expressão interna x^{6}-1.
  • Não há outras condições adicionais no enunciado.

Passo 2

Regra que vamos usar (explicação didática): quando temos uma função composta do tipo \ln(u(x)), aplicamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que a derivada da composição é a derivada da função exterior avaliada na função interior multiplicada pela derivada da função interior. Para o logaritmo natural isso resulta na fórmula:
\frac{d}{dx}\ln\!\big(u(x)\big)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Aqui u(x) é a função interna (no nosso caso u(x)=x^{6}-1), e u'(x) é a derivada dessa função interna. Em palavras: derive o interior e divida pelo próprio interior.

Passo 3

Calcular a derivada da função interna u(x)=x^{6}-1. Vamos usar a regra do poder (power rule): para qualquer inteiro n,
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
Aplicando isso:
  • A derivada de x^{6} é 6x^{5}.
  • A derivada da constante -1 é 0.
    Portanto
u'(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{6}-1\big)=6x^{5}.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula do Passo 2 com u(x)=x^{6}-1 e u'(x)=6x^{5}. Substituindo:
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{6x^{5}}{x^{6}-1}.
Essa é a expressão simplificada da derivada.

Passo 5

Observação sobre domínio (importante para a prova): a função f(x)=\ln\!\left(x^{6}-1\right) só está definida quando x^{6}-1>0, ou seja quando |x|>1. A derivada que encontramos \dfrac{6x^{5}}{x^{6}-1} também só vale para x nesse domínio; em x=\pm1 a função (e a derivada) não estão definidas.

Resposta

\dfrac{6x^{5}}{x^{6}-1}

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