Determine a derivada da função pelas regras de derivação:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar a derivada
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função está escrita como um logaritmo natural de uma expressão interna
. - Não há outras condições adicionais no enunciado.
Passo 2
Regra que vamos usar (explicação didática): quando temos uma função composta do tipo
, aplicamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que a derivada da composição é a derivada da função exterior avaliada na função interior multiplicada pela derivada da função interior. Para o logaritmo natural isso resulta na fórmula:
Aqui
é a função interna (no nosso caso
), e
é a derivada dessa função interna. Em palavras: derive o interior e divida pelo próprio interior.
Passo 3
Calcular a derivada da função interna
. Vamos usar a regra do poder (power rule): para qualquer inteiro
,
Aplicando isso:
- A derivada de
é . - A derivada da constante
é .
Portanto
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula do Passo 2 com
e
. Substituindo:
Essa é a expressão simplificada da derivada.
Passo 5
Observação sobre domínio (importante para a prova): a função
só está definida quando
, ou seja quando
. A derivada que encontramos
também só vale para
nesse domínio; em
a função (e a derivada) não estão definidas.