Determine a derivada da função pelas regras de derivação:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações relevantes dadas:
- A função está definida para
(pois há divisão por ). - O objetivo é obter
, a derivada em termos de (expressão algébrica).
Passo 2
Vamos rever as regras que vamos usar (explicadas de forma bem simples e concreta).
Regra A — derivada da função cosseno: se
é uma função de
, então
Aqui,
é a função externa e
é a função interna; o símbolo
significa "a derivada de
em relação a
".
Regra B — derivada de
(regra do expoente): para qualquer número real
,
Um caso útil:
. Aplicando a regra do expoente com
dá:
Portanto, a derivada de
é
.
Comentário prático: muitas confusões na prova vêm de sinais. Preste atenção que a derivada de
traz um sinal negativo e a derivada de
também traz um negativo; dois negativos podem se anular — vamos ver isso em seguida.
Passo 3
Identificamos a composição de funções: a parte externa é
e a parte interna é
Aplicando a Regra A (derivada da composta), escrevemos
Passo 4
Agora substituímos
e sua derivada
(usando a Regra B):
Passo 5
Simplificamos o produto: o sinal negativo de
multiplicado por
gera um sinal positivo. Logo
Passo 6
Observações finais e dica de prova:
- A derivada existe apenas para
, porque a função não está definida em . - Forma alternativa equivalente:
. - Cheque no exame valores simples para ver se você não errou sinais: por exemplo, em
obtemos , o que confirma que a expressão faz sentido num caso concreto. - Erro comum: trocar o sinal na derivada de
ou esquecer que . Sempre faça o passo da derivada interna separadamente para evitar isso.