Determine a derivada da função pelas regras de derivação:
f(x)=\cos \left(\frac{1}{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\cos\!\left(\frac{1}{x}\right).
Informações relevantes dadas:
  • A função está definida para x\neq 0 (pois há divisão por x).
  • O objetivo é obter f'(x), a derivada em termos de x (expressão algébrica).

Passo 2

Vamos rever as regras que vamos usar (explicadas de forma bem simples e concreta).
Regra A — derivada da função cosseno: se u é uma função de x, então
\frac{d}{dx}\cos\!\big(u(x)\big) = -\sin\!\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
Aqui, \cos é a função externa e u(x) é a função interna; o símbolo u'(x) significa "a derivada de u em relação a x".
Regra B — derivada de x^n (regra do expoente): para qualquer número real n,
\frac{d}{dx}x^n = n x^{n-1}.
Um caso útil: x^{-1} = \dfrac{1}{x}. Aplicando a regra do expoente com n=-1 dá:
\frac{d}{dx}x^{-1} = -1\cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}.
Portanto, a derivada de \dfrac{1}{x} é -\dfrac{1}{x^2}.
Comentário prático: muitas confusões na prova vêm de sinais. Preste atenção que a derivada de \cos traz um sinal negativo e a derivada de 1/x também traz um negativo; dois negativos podem se anular — vamos ver isso em seguida.

Passo 3

Identificamos a composição de funções: a parte externa é \cos(\cdot) e a parte interna é
u(x)=\frac{1}{x}=x^{-1}.
Aplicando a Regra A (derivada da composta), escrevemos
f'(x)=\frac{d}{dx}\cos\!\big(u(x)\big) = -\sin\!\big(u(x)\big)\cdot u'(x).

Passo 4

Agora substituímos u(x)=\dfrac{1}{x} e sua derivada u'(x)=-\dfrac{1}{x^2} (usando a Regra B):
f'(x) = -\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right).

Passo 5

Simplificamos o produto: o sinal negativo de -\sin(\cdot) multiplicado por -\dfrac{1}{x^2} gera um sinal positivo. Logo
f'(x)=\frac{\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)}{x^{2}}.

Passo 6

Observações finais e dica de prova:
  • A derivada existe apenas para x\neq 0, porque a função não está definida em x=0.
  • Forma alternativa equivalente: f'(x)=x^{-2}\sin\!\left(\frac{1}{x}\right).
  • Cheque no exame valores simples para ver se você não errou sinais: por exemplo, em x=1 obtemos f'(1)=\sin(1), o que confirma que a expressão faz sentido num caso concreto.
  • Erro comum: trocar o sinal na derivada de \cos ou esquecer que \dfrac{d}{dx}(1/x)=-1/x^{2}. Sempre faça o passo da derivada interna separadamente para evitar isso.

Resposta

f'(x)=\dfrac{\sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right)}{x^{2}},\\ x\neq 0

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