Determine a derivada da função pelas regras de derivação:
y=\left|x^{2}-4\right|

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada da função y=\left|x^{2}-4\right|.
Informações dadas e o que devemos entregar:
  • A função é y=\left|x^{2}-4\right|.
  • Precisamos encontrar y'=\dfrac{dy}{dx} para todos os x onde a derivada existir; também verificar pontos onde ela pode não existir.

Passo 2

Entendendo a função e como trabalhar com valor absoluto (vou mastigar isto porque é a parte essencial). Seja a função interna
u(x)=x^{2}-4.
O valor absoluto tem a definição por partes:
|u|=\begin{cases} u, & \text{se } u\ge0,\\[4pt] -u, & \text{se } u<0. \end{cases}
Isso significa que para nossa y podemos escrever y como função por partes usando u(x). Primeiro identifiquemos onde u(x)=0:
x^{2}-4=0 \quad\Rightarrow\quad x=\pm 2.
Logo, o sinal de u(x) é positivo quando |x|>2 e negativo quando |x|<2. Assim teremos casos diferentes para a derivada.]

Passo 3

Aplicando a representação por partes (caso u\ge0). Se x satisfaz x^{2}-4\ge0 (ou seja, |x|\ge2; na prática vamos separar estritamente > e o ponto = trataremos depois), então
y=x^{2}-4.
Agora uso a regra básica de derivação: a derivada de x^{2} é 2x (porque para x^{n} vale \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}; aqui n=2). Assim, para esses x,
y' = \dfrac{d}{dx}(x^{2}-4)=2x.

Passo 4

Aplicando a representação por partes (caso u<0). Se x satisfaz x^{2}-4<0 (ou seja, |x|<2), então
y=-(x^{2}-4)=4-x^{2}.
Derivando termo a termo (derivada de constante é zero, derivada de -x^{2} é -2x):
y' = \dfrac{d}{dx}(4-x^{2})=-2x.

Passo 5

Agora vamos organizar essas duas expressões por intervalo, porque é isso que interessa na prova:
  • Para |x|>2 (ou seja x<-2 ou x>2): y'=2x.
  • Para |x|<2 (ou seja -2<x<2): y'=-2x.
Mas atenção: precisamos verificar os pontos x=\pm2 separadamente, porque aí a definição por partes troca de ramo (o argumento do absoluto é zero). A derivada pode deixar de existir nesses pontos.

Passo 6

Verificação da derivabilidade em x=2. Calculo a derivada lateral esquerda ( x\to2^{-}) e lateral direita ( x\to2^{+}):
  • Para x\to2^{-} (estou no intervalo -2<x<2), usei y'=-2x. Avaliando em x=2 -2\cdot 2=-4.
  • Para x\to2^{+} (estou no intervalo x>2), usei y'=2x. Avaliando em x=2 2\cdot 2=4.
    Como as derivadas laterais são diferentes ( -4 e 4), a derivada não existe em x=2.

Passo 7

Verificação da derivabilidade em x=-2. Mesmo procedimento:
  • Para x\to(-2)^{-} (estou em x<-2), uso y'=2x. Avaliando em x=-2 2\cdot(-2)=-4.
  • Para x\to(-2)^{+} (estou em -2<x<2), uso y'=-2x. Avaliando em x=-2 -2\cdot(-2)=4.
    Novamente as derivadas laterais são diferentes ( -4 e 4), então a derivada não existe em x=-2.

Passo 8

Resumo em forma compacta e observação alternativa prática. Podemos escrever a derivada para x\neq\pm2 usando a função sinal ( \operatorname{sgn}), definindo \operatorname{sgn}(t)=1 se t>0 e -1 se t<0. Como u'(x)=2x, para x\neq\pm2 vale
y'=2x\;\operatorname{sgn}\!\left(x^{2}-4\right).
Mas lembrando: em x=\pm2 a derivada não existe, conforme mostramos.

Resposta

y'=\begin{cases} 2x, & |x|>2,\\[4pt] -2x, & |x|<2,\\[4pt] \text{não existe}, & x=\pm2. \end{cases}ã]

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