Determine a derivada da função pelas regras de derivação:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que somos dados:
- Pede-se a derivada da função
em termos de . - A função dada é
. - Não há restrição informada no domínio, então assumimos
. - Pergunta: encontrar
, a derivada de em relação a .
Passo 2
Apresentando a regra da potência (uma ferramenta que vamos usar).
- Regra da potência (caso simples): se
com número real, então
- O que isso significa: para tirar a derivada de uma potência de
, multiplica-se pelo expoente e diminui-se o expoente em 1. - Exemplo simples (para fixar): para
tem-se . Para tem-se . - Observação: essa regra vale diretamente quando a base é exatamente a variável
. Quando a base for uma expressão em , precisamos combinar essa regra com a regra da cadeia (Passo seguinte).
Passo 3
Apresentando a regra da cadeia (a outra ferramenta fundamental).
- Regra da cadeia (forma geral): se
, isto é, é a composição de uma função externa aplicada a uma função interna , então
- Explicação das letras:
é a função interna (aquela que fica “dentro”), é a função externa (aquela que atua sobre o resultado de ). Primeiro diferencia-se como se sua variável fosse a genérica (por exemplo ), e depois substitui-se . Por fim multiplica-se pelo derivado de . - Intuição simples: você tem uma “máquina” dentro de outra; ao variar
, a mudança em vem da mudança da parte externa em função do valor interior multiplicada pela mudança do interior em função de . - Exemplo rápido: se
, pense e . Então e , logo .
Passo 4
Aplicando essas ideias à função do enunciado.
- Identifique a função interna
e a função externa :
- Assim
. - Pela regra da cadeia,
- Usando a regra da potência para
temos . Substituindo dá .
Passo 5
Calcular o derivado da função interna
.
- A função interna é
. - Derivando termo a termo (linearidade da derivada) e usando a regra da potência:
-
. -
. -
.
-
- Portanto
Passo 6
Juntando os resultados com a regra da cadeia (sem ainda escrever a resposta final fora da seção própria).
- Temos
e . - Então, pela regra da cadeia,
- Lembrando que
. A substituição final na expressão acima leva à forma explícita em , que eu apresento na seção de resposta.
Passo 7
Dica de prova/exame (como fazer rápido e sem erro):
- Identifique rapidamente a parte potência (expoente 7) e a parte interna (polinômio).
- Aplique: “traga o 7 para frente” (regra da potência) e mantenha a mesma potência com expoente diminuído em 1, depois multiplique pelo derivado da parte interna.
- Seja organizado: defina
se isso ajudar a não errar sinais/coefs. Respire fundo — está feito com duas regras simples.