Determine a derivada da função pelas regras de derivação:
f(x)=\left(x^{2}+5 x+2\right)^{7}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que somos dados:
  • Pede-se a derivada da função f em termos de x.
  • A função dada é f(x)=\left(x^{2}+5 x+2\right)^{7}.
  • Não há restrição informada no domínio, então assumimos x\in\mathbb{R}.
  • Pergunta: encontrar f'(x), a derivada de f em relação a x.

Passo 2

Apresentando a regra da potência (uma ferramenta que vamos usar).
  • Regra da potência (caso simples): se g(x)=x^{n} com n número real, então
g'(x)=n x^{n-1}.
  • O que isso significa: para tirar a derivada de uma potência de x, multiplica-se pelo expoente n e diminui-se o expoente em 1.
  • Exemplo simples (para fixar): para g(x)=x^{3} tem-se g'(x)=3x^{2}. Para g(x)=x^{5} tem-se g'(x)=5x^{4}.
  • Observação: essa regra vale diretamente quando a base é exatamente a variável x. Quando a base for uma expressão em x, precisamos combinar essa regra com a regra da cadeia (Passo seguinte).

Passo 3

Apresentando a regra da cadeia (a outra ferramenta fundamental).
  • Regra da cadeia (forma geral): se f(x)=h(u(x)), isto é, f é a composição de uma função externa h aplicada a uma função interna u(x), então
f'(x)=h'(u(x))\cdot u'(x).
  • Explicação das letras: u(x) é a função interna (aquela que fica “dentro”), h é a função externa (aquela que atua sobre o resultado de u). Primeiro diferencia-se h como se sua variável fosse a genérica (por exemplo t), e depois substitui-se t=u(x). Por fim multiplica-se pelo derivado de u(x).
  • Intuição simples: você tem uma “máquina” dentro de outra; ao variar x, a mudança em f vem da mudança da parte externa em função do valor interior multiplicada pela mudança do interior em função de x.
  • Exemplo rápido: se f(x)=(3x+1)^{4}, pense u(x)=3x+1 e h(t)=t^{4}. Então h'(t)=4t^{3} e u'(x)=3, logo f'(x)=4(3x+1)^{3}\cdot 3.

Passo 4

Aplicando essas ideias à função do enunciado.
  • Identifique a função interna u(x) e a função externa h(t):
u(x)=x^{2}+5x+2, \qquad h(t)=t^{7}.
  • Assim f(x)=h(u(x))=u(x)^{7}.
  • Pela regra da cadeia,
f'(x)=h'(u(x))\cdot u'(x).
  • Usando a regra da potência para h(t)=t^{7} temos h'(t)=7t^{6}. Substituindo t=u(x) h'(u(x))=7\,u(x)^{6}.

Passo 5

Calcular o derivado da função interna u(x).
  • A função interna é u(x)=x^{2}+5x+2.
  • Derivando termo a termo (linearidade da derivada) e usando a regra da potência:
    • \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x.
    • \dfrac{d}{dx}5x=5.
    • \dfrac{d}{dx}2=0.
  • Portanto
u'(x)=2x+5.

Passo 6

Juntando os resultados com a regra da cadeia (sem ainda escrever a resposta final fora da seção própria).
  • Temos h'(u(x))=7\,u(x)^{6} e u'(x)=2x+5.
  • Então, pela regra da cadeia,
f'(x)=7\,u(x)^{6}\cdot(2x+5).
  • Lembrando que u(x)=x^{2}+5x+2. A substituição final na expressão acima leva à forma explícita em x, que eu apresento na seção de resposta.

Passo 7

Dica de prova/exame (como fazer rápido e sem erro):
  • Identifique rapidamente a parte potência (expoente 7) e a parte interna (polinômio).
  • Aplique: “traga o 7 para frente” (regra da potência) e mantenha a mesma potência com expoente diminuído em 1, depois multiplique pelo derivado da parte interna.
  • Seja organizado: defina u se isso ajudar a não errar sinais/coefs. Respire fundo — está feito com duas regras simples.

Resposta

f'(x)=7\left(x^{2}+5x+2\right)^{6}\left(2x+5\right)

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