Determine a derivada da função pelas regras de derivação:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função dada. A função fornecida é:
Informações relevantes: a função é composta — dentro dela aparece
e fora a função trigonométrica
. O objetivo é encontrar
, a derivada de
em função de
.
Passo 2
Ideia geral que vamos usar: quando uma função é composta, do tipo
, a derivada é dada pela regra da cadeia:
Explicando em palavras: primeiro derivamos a função externa
em relação ao argumento
(mantendo
no lugar), e então multiplicamos pelo derivado da função interna
. Isso evita fazer contas desnecessárias e é a forma direta de lidar com compostas na hora da prova.
Passo 3
Identificar externa e interna no nosso caso. Tomamos:
Agora precisamos de
e
.
Passo 4
Derivada da função externa
. É um resultado padrão das derivadas de funções trigonométricas que:
Comentário rápido: esse é um fato normalmente memorizado (derivada de seno é cosseno). Na prova, basta lembrar que ao derivar
troca-se por
.
Passo 5
Derivada da função interna
. Usamos a regra do poder (power rule): para
vale
Aplicando com
:
Passo 6
Aplicando a regra da cadeia com os resultados
e
:
Substituindo
obtemos
Passo 7
Pausa motivacional e reforço: você pode pensar nisso como “deriva a parte de fora, mantendo a parte de dentro; depois multiplica pela derivada da parte de dentro”. Exemplos similares para praticar na prova:
Isso mostra o padrão que você deve aplicar rapidamente no exame.