Determine a derivada da função pelas regras de derivação:
f(x)=\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função dada. A função fornecida é:
f(x)=\operatorname{sen}\bigl(x^{2}\bigr).
Informações relevantes: a função é composta — dentro dela aparece x^{2} e fora a função trigonométrica \operatorname{sen}(\cdot). O objetivo é encontrar f'(x), a derivada de f em função de x.

Passo 2

Ideia geral que vamos usar: quando uma função é composta, do tipo \,f(x)=g\bigl(u(x)\bigr), a derivada é dada pela regra da cadeia:
f'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Explicando em palavras: primeiro derivamos a função externa g em relação ao argumento u (mantendo u(x) no lugar), e então multiplicamos pelo derivado da função interna u(x). Isso evita fazer contas desnecessárias e é a forma direta de lidar com compostas na hora da prova.

Passo 3

Identificar externa e interna no nosso caso. Tomamos:
u(x)=x^{2}\qquad\text{(função interna)}çã
g(u)=\operatorname{sen}(u)\qquad\text{(função externa, com }u\text{ como variável)}çãá
Agora precisamos de g'(u) e u'(x).

Passo 4

Derivada da função externa g(u)=\operatorname{sen}(u). É um resultado padrão das derivadas de funções trigonométricas que:
\frac{d}{du}\operatorname{sen}(u)=\operatorname{cos}(u).
Comentário rápido: esse é um fato normalmente memorizado (derivada de seno é cosseno). Na prova, basta lembrar que ao derivar \operatorname{sen}(\cdot) troca-se por \operatorname{cos}(\cdot).

Passo 5

Derivada da função interna u(x)=x^{2}. Usamos a regra do poder (power rule): para \,x^{n} vale
\frac{d}{dx}x^{n}=n\,x^{n-1}.
Aplicando com n=2:
u'(x)=\frac{d}{dx}x^{2}=2x.

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia com os resultados g'(u)=\operatorname{cos}(u) e u'(x)=2x:
f'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x)=\operatorname{cos}\bigl(u(x)\bigr)\cdot 2x.
Substituindo u(x)=x^{2} obtemos
f'(x)=2x\,\operatorname{cos}\bigl(x^{2}\bigr).

Passo 7

Pausa motivacional e reforço: você pode pensar nisso como “deriva a parte de fora, mantendo a parte de dentro; depois multiplica pela derivada da parte de dentro”. Exemplos similares para praticar na prova:
\frac{d}{dx}\operatorname{sen}(3x)=3\,\operatorname{cos}(3x), \qquad \frac{d}{dx}\operatorname{sen}\bigl(x^{3}\bigr)=3x^{2}\,\operatorname{cos}\bigl(x^{3}\bigr).
Isso mostra o padrão que você deve aplicar rapidamente no exame.

Resposta

f'(x)=2x\,\operatorname{cos}\bigl(x^{2}\bigr)

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