Determine a derivada da função pelas regras de derivação:
f(x)=-\frac{1}{2} x^{4}+\frac{2}{3} x^{3}-\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{2}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a derivada da função f dada por
f(x)=-\tfrac{1}{2}x^{4}+\tfrac{2}{3}x^{3}-\tfrac{1}{2}x^{2}+\tfrac{1}{2}.
Informações fornecidas:
  • A função é um polinômio (soma de potências de x com coeficientes constantes).
  • A tarefa é calcular f'(x), a derivada de f em relação a x.

Passo 2

Relembrando as regras de derivação que vamos usar (cada fórmula com explicação):
  • Regra do somatório (linearidade): a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se g(x)=u(x)+v(x), então
g'(x)=u'(x)+v'(x).
Isto significa que podemos derivar termo a termo no polinômio.
  • Regra do múltiplo constante: se c é constante e u(x) é diferenciável, então
\big(c\,u(x)\big)' = c\,u'(x).
Isto permite “puxar para fora” coeficientes numéricos.
  • Regra da potência (power rule): para um inteiro n,
\big(x^{n}\big)' = n x^{n-1}.
Explicação: multiplica-se pela potência e diminui-se o expoente em 1.
Exemplo rápido: a derivada de \!x^{5}\! é \!5x^{4}\!.

Passo 3

Derivando o primeiro termo -\tfrac{1}{2}x^{4}:
  • Uso da regra do múltiplo constante com c=-\tfrac{1}{2} e da regra da potência com n=4.
  • Calculando:
\big(-\tfrac{1}{2}x^{4}\big)' = -\tfrac{1}{2}\cdot (x^{4})' = -\tfrac{1}{2}\cdot 4x^{3}.
  • Simplificando o coeficiente:
-\tfrac{1}{2}\cdot 4x^{3} = -2x^{3}.

Passo 4

Derivando o segundo termo \tfrac{2}{3}x^{3}:
  • Aplicando múltiplo constante com c=\tfrac{2}{3} e potência com n=3:
\big(\tfrac{2}{3}x^{3}\big)' = \tfrac{2}{3}\cdot (x^{3})' = \tfrac{2}{3}\cdot 3x^{2}.
  • Simplificando:
\tfrac{2}{3}\cdot 3x^{2} = 2x^{2}.

Passo 5

Derivando o terceiro termo -\tfrac{1}{2}x^{2}:
  • Aplicando as regras com c=-\tfrac{1}{2} e n=2:
\big(-\tfrac{1}{2}x^{2}\big)' = -\tfrac{1}{2}\cdot (x^{2})' = -\tfrac{1}{2}\cdot 2x.
  • Simplificando:
-\tfrac{1}{2}\cdot 2x = -x.

Passo 6

Derivando o quarto termo constante \tfrac{1}{2}:
  • A derivada de uma constante é zero:
\big(\tfrac{1}{2}\big)' = 0.

Passo 7

Somando as derivadas parciais obtidas nos passos anteriores (pela linearidade), chega-se à derivada solicitada.

Resposta

f'(x)=-2x^{3}+2x^{2}-x

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