Determine a derivada da função pelas regras de derivação:
Passo 1
O enunciado pede: determinar a derivada da função
dada por
Informações fornecidas:
- A função é um polinômio (soma de potências de
com coeficientes constantes). - A tarefa é calcular
, a derivada de em relação a .
Passo 2
Relembrando as regras de derivação que vamos usar (cada fórmula com explicação):
- Regra do somatório (linearidade): a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se
, então
Isto significa que podemos derivar termo a termo no polinômio.
- Regra do múltiplo constante: se
é constante e é diferenciável, então
Isto permite “puxar para fora” coeficientes numéricos.
- Regra da potência (power rule): para um inteiro
,
Explicação: multiplica-se pela potência e diminui-se o expoente em
.
Exemplo rápido: a derivada de é
.
Exemplo rápido: a derivada de
Passo 3
Derivando o primeiro termo
:
- Uso da regra do múltiplo constante com
e da regra da potência com . - Calculando:
- Simplificando o coeficiente:
Passo 4
Derivando o segundo termo
:
- Aplicando múltiplo constante com
e potência com :
- Simplificando:
Passo 5
Derivando o terceiro termo
:
- Aplicando as regras com
e :
- Simplificando:
Passo 6
Derivando o quarto termo constante
:
- A derivada de uma constante é zero:
Passo 7
Somando as derivadas parciais obtidas nos passos anteriores (pela linearidade), chega-se à derivada solicitada.