Determine a derivada da função pelas regras de derivação:
f(x)=x^{3}\left(2 x^{2}-3 x\right)

Passo 1

O enunciado pede: Determinar a derivada da função
f(x)=x^{3}\left(2x^{2}-3x\right).
Informações dadas:
  • A função é o produto de x^{3} por \left(2x^{2}-3x\right).
  • O objetivo é calcular f'(x), a derivada em relação a x.

Passo 2

Opções naturais para resolver:
  • Expandir o produto e depois derivar termo a termo (método direto, normalmente mais simples quando o produto resulta em polinômio).
  • Usar a regra do produto: (uv)'=u'v+uv'.
Escolho expandir primeiro porque aqui dá um polinômio simples, e a diferenciação de polinômios é muito direta. Vou mostrar também a verificação pelo produto no final, para ver que dá o mesmo resultado.

Passo 3

Expandir o produto passo a passo. Usamos a regra de potências para multiplicar x^{a}\cdot x^{b}=x^{a+b} e multiplicação de coeficientes:
x^{3}\cdot 2x^{2}=2x^{3+2}=2x^{5},
x^{3}\cdot (-3x)=-3x^{3+1}=-3x^{4}.
Portanto
f(x)=2x^{5}-3x^{4}.

Passo 4

Lembrando as regras básicas de derivação que vamos usar:
  • Regra do coeficiente constante: a derivada de c\cdot g(x) é c\cdot g'(x), onde c é constante.
  • Regra da soma: \dfrac{d}{dx}\big(g(x)+h(x)\big)=g'(x)+h'(x).
  • Regra da potência (power rule): para qualquer inteiro n,
\frac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n\,x^{n-1}.
Aqui x é a variável e n é o expoente.

Passo 5

Aplicar as regras ao polinômio \;f(x)=2x^{5}-3x^{4}.
Derivada do primeiro termo:
\frac{d}{dx}\big(2x^{5}\big)=2\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{5}\big)=2\cdot(5x^{4})=10x^{4}.
Derivada do segundo termo:
\frac{d}{dx}\big(-3x^{4}\big)=-3\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{4}\big)=-3\cdot(4x^{3})=-12x^{3}.
Somando (regra da soma):
f'(x)=10x^{4}-12x^{3}.

Passo 6

Opcional: fatorar o resultado para uma forma mais compacta. Identificar o máximo divisor comum entre os termos 10x^{4} e -12x^{3} é 2x^{3}. Então
f'(x)=2x^{3}(5x-6).

Passo 7

Verificação rápida usando a regra do produto (checa que não houve erro):
Seja u(x)=x^{3} e v(x)=2x^{2}-3x.
u'(x)=3x^{2},\qquad v'(x)=4x-3.
Pela regra do produto:
f'(x)=u'v+uv'=3x^{2}(2x^{2}-3x)+x^{3}(4x-3).
Distribuindo:
=6x^{4}-9x^{3}+4x^{4}-3x^{3}=10x^{4}-12x^{3},
que confirma o resultado anterior.

Resposta

f'(x)=10x^{4}-12x^{3}

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