Determine a derivada da função pelas regras de derivação:
Passo 1
O enunciado pede: Determinar a derivada da função
Informações dadas:
- A função é o produto de
por . - O objetivo é calcular
, a derivada em relação a .
Passo 2
Opções naturais para resolver:
- Expandir o produto e depois derivar termo a termo (método direto, normalmente mais simples quando o produto resulta em polinômio).
- Usar a regra do produto:
.
Escolho expandir primeiro porque aqui dá um polinômio simples, e a diferenciação de polinômios é muito direta. Vou mostrar também a verificação pelo produto no final, para ver que dá o mesmo resultado.
Passo 3
Expandir o produto passo a passo. Usamos a regra de potências para multiplicar
e multiplicação de coeficientes:
Portanto
Passo 4
Lembrando as regras básicas de derivação que vamos usar:
- Regra do coeficiente constante: a derivada de
é , onde é constante. - Regra da soma:
. - Regra da potência (power rule): para qualquer inteiro
,
Aqui
é a variável e
é o expoente.
Passo 5
Aplicar as regras ao polinômio
.
Derivada do primeiro termo:
Derivada do segundo termo:
Somando (regra da soma):
Passo 6
Opcional: fatorar o resultado para uma forma mais compacta. Identificar o máximo divisor comum entre os termos
e
é
. Então
Passo 7
Verificação rápida usando a regra do produto (checa que não houve erro):
Seja
e
.
Pela regra do produto:
Distribuindo:
que confirma o resultado anterior.