Determine a derivada da função. Simplifique quando possível.
f(x)=ln (tg(x))

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=lnl(tan(x)r). O conteúdo aqui é regra da cadeia aplicada à função logaritmo composto com a função tangente. Vamos usar que l[ln(u)r]'=u'/u e l[tan(x)r]'=sec^2(x).

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia:
f'(x)=l(tan(x)r)'tan(x) =sec^2(x)tan(x)

Passo 3

Para simplificar, escrevemos sec^2(x)=1/cos^2(x) e tan(x)=sin(x)/cos(x), logo
f'(x) =1/cos^2(x)sin(x)/cos(x) =1sin(x),cos(x)
Opcionalmente, usando sin(2x)=2sin(x)cos(x), temos também
f'(x)=2sin(2x)=2csc(2x)

Resposta

f'(x)=1sin(x)cos(x)

Exercícios relacionados